Norme matriciali §

Una norma matriciale è un’applicazione $\Vert \cdot \Vert :{\mathcal{C}}^{m\times n}\mapsto [0,\infty )$ tale che $\forall A,B\in {\mathcal{C}}^{m\times n}$:

1. $\Vert A\Vert =0$ se e solo se $A=0$;
2. $\Vert \alpha A\Vert =|\alpha |\Vert A\Vert$ $\forall \alpha \in \mathcal{C}$ omogeneità;
3. $\Vert A+B\Vert \le \Vert A\Vert +\Vert B\Vert$ disugualianza triangolare.

Come si relaziona alle norme vettoriali?

Una norma matriciale è compatibile o consistente con una norma vettoriale se vale:

$$\Vert Ax\Vert \le \Vert A\Vert \Vert x\Vert \forall x\in {\mathcal{C}}^n$$

Una norma matriciale (quando $n=m$) è sub-moltiplicativa se vale:

$$\Vert AB\Vert \le \Vert A\Vert \Vert B\Vert$$

Osservazione Non tutte le norme matriciali lo sono, ad esempio la norma del max non lo è, basta prendere $A=B$ matrice con tutti uno.

Osservazione Ogni norma matriciale submoltiplicativa induce una norma vettoriale consistente, fissando un vettore $y\ne 0$, $\Vert x\Vert :=\Vert x{y}^H\Vert$.

Norma di Frobenius §

Sia $A\in {\mathcal{C}}^{m\times n}$, la norma di Frobenius è definita come:

$$\Vert A{\Vert }_F:=\sqrt{\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^n|a_{ij}{|}^2}=\sqrt{tr(A^{H}A)}$$

Stiamo vedendo una matrice come un vettore di ${\mathbb{C}}^{mn}$ ed usando la norma euclidea. L’identità con la traccia si vede immediatamente svolgendo il prodotto con la trasposta coniugata, l’elemento $i$ di $diag(A^{H}A)$ è la norma al quadrato della colonna $i$.

Osservazione è compatibile con la norma vettoriale Euclidea $\Vert \cdot {\Vert }_2$. Inoltre $\Vert I_n{\Vert }_F=\sqrt{n}$.

Norma matriciale indotta §

Anche una norma vettoriale induce una norma matriciale naturale, o indotta:

$$\Vert A\Vert :=\underset{x\ne 0}{\sup }\frac{\Vert Ax\Vert }{\Vert x\Vert }$$

(si può definire in maniera equivalente facendo il max sui versori).

Verifichiamo che sia una norma:

1. $Ax=0$ $\forall x$ implica che $A=0$;
2. la omogeneità segue dalla omogeneità della norma vettoriale;
3. stessa cosa la disuguaglianza triangolare. $\square$

Inoltre, la norma matriciale indotta è compatibile con la norma vettoriale che la induce, e submoltiplicativa.

Si vede che per la norme indotte da quella $1$ ed $infinito$:

$$||A|{|}_1=\underset{j=1,\dots ,n}{\max }\sum _{i=1}^m|a_{ij}|||A|{|}_{\infty }=\underset{i=1,\dots ,m}{\max }\sum _{j=1}^n|a_{ij}|$$

Osservazione Per ogni norma matriciale indotta vale la disuguaglianza:

$$\rho (A)\le \Vert A{\Vert }_v$$

Norma spettrale §

La norma matriciale indotta dalla norma due (euclidea) vettoriale può essere caratterizzata in altri modi interessanti:

$$\Vert A{\Vert }_2=\sqrt{\rho (A^{H}A)}={\sigma }_1(A)$$

Dove $\rho (A)$ è raggio spettrale della matrice, ovvero il massimo dei moduli dei suoi autovaloril, per questo motivo viene chiamata norma spettrale.

Proprietà §

Se $A$ è hermitiana, allora $\Vert A{\Vert }_2=\rho (A)$. Se è unitaria ha norma pari ad uno, infatti $\rho (I)=1$. Il prodotto per matrici unitarie non cambia la norma, infatti:

$$||UA|{|}_2^2=\rho (A^H{U}^{H}UA)=\rho (A^{H}A)$$ $$||AV|{|}_2^2=\rho (V^H{A}^{H}AV)=\rho (A^{H}A)$$

siccome matrici simili hanno stesso spettro. Questo vale anche per Frobenius, essendo la traccia un invariante per trasformazioni di similitudine.