Limite di successioni subadditive §

Una successione si dice subadditiva se:

$$a_{n+m}\le a_n+a_m$$

Vale il seguente teorema:

Teorema §

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a_n}{n}=\underset{n}{\inf }\frac{a_n}{n}$$

quindi, il limite esiste sempre.

Proof §

Sia $\alpha ={\inf }_n\frac{a_n}{n}$, prendiamo un valore leggermente superiore: fissato $ϵ>0$ esiste un $l$ tale che

$$\frac{a_l}{l}\le \alpha +ϵ$$

ogni naturale $n$ può essere scritto nella forma $n=kl+j$ con $k=0,1,\dots$ e $0\le j<l$. Dalla definzione di $\alpha$ segue:

$$\alpha n\le a_n=a_{kl+j}\le a_{kl}+a_j\le k{a}_l+a_j$$

dividiamo per $n$ e passiamo al limite

$$\alpha \le \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a_n}{n}\le \frac{a_l}{l}\le \alpha +ϵ$$

per l’arbitrarietà di $ϵ$ questo conclude la dimostrazione. $\square$

Estensione sul reticolo §

Si può estendere a successioni di parallelepipedi in ${\mathbb{Z}}^d$. In questo caso la subadditività è di una funzione $a:\mathcal{R}\mapsto \mathbb{R}$:

$$a(R_1\cup R_2)\le a(R_1)+a(R_2)R_1\cap R_2=\varnothing$$

Un esempio è la successione di parallelepipedi semplice:

$$B(n)=\{-n,\dots ,n{\}}^d$$

Vale il seguente teorema:

Lemma Fekete §

Sia $a:\mathcal{R}\mapsto \mathbb{R}$ subadditiva e invariante per traslazioni e una sequenza di parallelepipedi $|{\Lambda }_n|\to \infty$. Allora:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a({\Lambda }_n))}{|{\Lambda }_n|}=\underset{\Lambda \in \mathcal{R}}{\inf }\frac{a(\Lambda )}{|\Lambda |}$$

Proof §

Come prima, sia $\alpha :={\inf }_{\Lambda }\frac{a(\Lambda )}{|\Lambda |}$, sia $\Delta$ un elemento della successione tale che $\frac{a(\Delta )}{|\Delta |}\le \alpha +ϵ$. Ogni cubo ${\Lambda }_n$ può essere scomposto in un’unione di $N_n$ traslati di $\Delta$ ed un resto. Supponendo di scegliere $n$ grande a piacere,

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{|{\Lambda }_n|}{N_n|\Delta |}=1$$

applicando la subadditività e l’invarianza per traslazioni:

$$a({\Lambda }_n)\le N_{n}a(\Delta )+(|{\Lambda }_n|-N_n|\Delta |)a(\{0{\}}^d)$$

dove il secondo addendo è il termine di resto. Quindi:

$$\alpha \le \underset{n\to \infty }{\mathrm{liminf}}\frac{a({\Lambda }_n)}{|{\Lambda }_n|}\le \underset{n\to \infty }{\mathrm{limsup}}\frac{N_{n}a(\Delta )}{N_n|\Delta |}\le \alpha +ϵ$$

per l’arbitrarietà di $ϵ$ questo conclude la dimostrazione. $\square$