Misure prodotto §

L’obbiettivo è arrivare al Fubini-Tonnelli’s theorem per lo scambio dell’ordine di integrazione. Prima dobbiamo definire il prodotto si spazio misurabili.

Def Prodotto di Spazi misurabili §

Sia $(S_1,{\Sigma }_1)$ e $(S_2,{\Sigma }_2)$ due spazi misurabili, chiamiamo $S$ il loro prodotto cartesiano $S:=S_1\times S_2$. Vogliamo costruire una $\sigma$-algebra prodotto, per farlo in maniera elegante definiamo l’opratore di proiezione:

$${\rho }_i(s_1,s_2)=s_{i}i=1,2$$

il gioco è fatto:

$$\Sigma :=\sigma ({\rho }_1,{\rho }_2)$$

chiediamo che tipo si insiemi generano questa sigma algebra, per come abbiamo definito gli opertaori di proiezione, è facile, infatti ${\rho }_1$ se ne frega degli insiemi in ${\Sigma }_2$:

$$\Sigma =\{{\rho }_1^{-1}(B_1),{\rho }_2^{-1}(B_2)\forall B_1,B_2\in {\Sigma }_1,{\Sigma }_2\}$$

ma le preimmgini hanno la semplice forma:

$${\rho }_1^{-1}(B_1)=B_1\times S_2$$ $${\rho }_2^{-1}(B_2)=S_1\times B_2$$

nel caso di un numero finito di prodotti cartesiani vale:

$$(B_1\times S_2)\bigcap (S_1\times B_2)=(B_1\times B_2)$$

la sigma algebra dovrà contenere questi insiemi. E’ facile vedere come formino un Pi-system. Osservazione In generale non è vero che prodotto cartesiano di $\sigma$-algebra, controesempio facile in $({\mathbb{R}}^2,\mathcal{B}\times \mathcal{B})$:

$$[0,1]\times [0,1]\bigcup [1,2]\times [1,2]\notin \mathcal{B}\times \mathcal{B}$$

Funzioni misurabili §

Cominciamo con una caratterizzazione delle funzioni misurabili limitate sullo spazio prodotto.

Sia $\mathcal{H}$ la classe delle funzioni $f:S\mapsto \mathbb{R}$ limitate e $\Sigma$ misurabili, tali che:

1. $\forall s_1\in S_1$ fissato, la funzione $f_{s_1}:S_2\mapsto \mathbb{R}$ con $f_{s_1}(s_2):=f(s_1,s_2)$ è ${\Sigma }_2$ misurabile.
2. .$\forall s_2\in S_2$ fissato, la funzione $f_{s_2}:S_1\mapsto \mathbb{R}$ con $f_{s_2}(s_1):=f(s_1,s_2)$ è ${\Sigma }_1$ misurabile.

Allora $\mathcal{H}=b\Sigma$, ovvero tutte le funzioni misurabili e limitate godono di queste due proprietà.