Anello §

Si chiama Anello una famiglia di insiemi $\mathcal{R}$ chiusa per intersezione (prodotto) e differenza simmetrica (somma) finita. Siano $A,B\in \mathcal{R}$:

1. $A\bigcap B\in \mathcal{R}$
2. $A\Delta B\in \mathcal{R}$

Dalle proprietà della differenza simmetrica ed intersezione, segue che un anello è chiuso per tutte le altre operazioni tra insiemi (finite) Operation on sets.

Siccome è non vuoto e chiuso per differenza simmetrica, contiene l’insieme vuoto.

Anello con unità §

Se esiste un insieme $E$ tale che per ogni $A\in \mathcal{R}$ si ha:

$$E\bigcap A=A$$

allora diciamo che $\mathcal{R}$ ha l’unità (elemento neutro per intersezione, vista come moltiplicazione), e chiamiamo l’insieme $E$ unità.

Un anello con unità è chiamato un’ algebra.

Costruzione di un anello partendo da un semi-anello §

Abbastanza ovvio, completo il semianello aggiungendo tutte le unioni finite egli elementi del semi anello.

Indichiamo l’anello generato da un semi-anello come $\mathcal{R}(\mathcal{A})$.

Vale la rappresentazione: $\forall E\in \mathcal{R}(\mathcal{A})$ $E={\cup }^M{A}_i$ con $A_i\in \mathcal{A}$ e disgiunti.

Estensione di funzioni additive da un semianello ad un anello §

Segue dalla costruzione dell’anello e dalla rappresentazione come unione finita di elementi del semianello:

$$\nu (E):=\sum ^M\nu (A_i)=\sum ^M\mu (A_i)$$

Si deve fare vedere che è ben definita, esistono più rappresentazioni come unione finita di insiemi disgiunti del semianello, ma il risultato non deve dipendere dalla decomposizione.

Ben definita §

Siano date due scomposizioni dell’insieme $E$ , devo dimostrare che:

$$\sum \mu (F_i)=\sum \mu (E_i)$$

Prendiamo un elmento $E_i$, possiamo scriverlo come unione finita di elmenti nel semianello:

$$E_i\subseteq E=\bigcup F_j$$ $$E_i=E_i\bigcap E=E_i\bigcap \cup F_j=\bigcup E_i\cap F_j$$

$E_i$ e $F_j$ sono nel semianello, che è chiuso per intersezioni finite, quindi anche $E_i\cap F_j$ è nel semi anello, possiamo applicare $\mu$ e sfruttare l’additività:

$$\mu (E_i)=\sum _j\mu (E_i\cap F_j)$$

Tornando all’insieme $E$ nell’anello:

$$\nu (E)=\sum _i\mu (E_i)=\sum _i\sum _j\mu (E_i\cap F_j)$$

E’ un’espressione simmetrica per $E_i$ e $F_j$, posso ripetere il ragionamento partendo da un $F_i$.

Additività §

Ovvia.

Unicità §

Supponiamo esistano due estensioni ${\nu }_i$ e ${\nu }_2$, che concordano sugli insiemi del semianell. Concordano a che sull’anello?

Ovviamente sì, basta sfruttare la scomposizione (assegnamo i valori agli elmenti dell’anello come somma di valori di elementi del semianello, dove le due funzioni concordano.)

La sigma additività si trasmette? §

Se la funzione sul semianello è sigma additiva, lo è anche quella estesa sull’ anello? Si sfrutta ancora la scomposizione (finita). Siano $A,A_i\in \mathcal{R}(\mathcal{A})$ con $A_i$ disgiunti e $A=\cup A_i$ facciamo vedere che $\nu (A)=\sum \nu (A_i)$

$$A=\bigcup _i^M{E}_i$$ $$A_n=\bigcup _j^{L(n)}{E}_{nj}\nu (A_n)=\sum _j^{L(n)}\mu (E_{nj})$$ $$A=\bigcup _{n=1}^{\infty }{A}_n=\bigcup _{n=1}^{\infty }\bigcup _{j=1}^L{E}_{nj}$$ $$E_i=E_i\bigcap A=E_i\bigcap {\cup }_{n=1}^{\infty }{A}_n=E_i\bigcap {\cup }_{n=1}^{\infty }{\cup }_{j=1}^{L(n)}{E}_{nj}=\bigcup _{n=1}^{\infty }\bigcup _{j=1}^{L(n)}{E}_i\cap E_{nj}$$

Abbiamo quindi espresso $E_i$, un elmento del semi anello come somma numebrabile di elementi del semianello (che è chiuso per intersezione finita). Sfruttiamo la sigma additività di $\mu$ sul semianello:

$$\mu (E_i)=\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{j=1}^{L(n)}\mu (E_i\cap E_{nj})$$

Abbiamo finito, basta scrivere $A$ come unione finita degli $E_i$:

$$\nu (A):=\sum _i^M\mu (E_i)=\sum _{i=1}^M\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{j=1}^{L(n)}\mu (E_i\cap E_{nj})$$

Vogliamo riottenere $\nu (A_n)$ dall’espressione di destra, basta usare l’identità:

$$\mu (E_{nj})=\sum _i^M\mu (E_i\cap E_{nj})$$