Gas perfetto
E’ il più semplice sistema studiato dalla meccanica statistica: particelle identiche di massa , che non interagiscono, in assenza di forze esterne. L’Hamiltoniana è dunque l’energia cinetica:
Questo modello spiega bene i gas rarefatti, ovvero quando le interazioni tra molecole sono trascurabili.
Legge dei gas perfetti
Originariamente è una legge empirica, uno dei meriti della meccanica statistica classica è proprio saperla ricavare.
Dall’enseble microcanonico
Ricaviamola usando l’Ensemble microcanonico.
L’integrale sulle posizioni restituisce il volume del sistema . Per valutare la parte con la delta, la superficie ad energia fissata , notiamo che geometricamente è una sfera dimensionale di raggio , usando la formula Volume della palla n dimensionale si ottiene:
Usiamo la Formula di Stirling per approssimare la funzione Gamma e il fattoriale:
In realtà non ci serve il fattore , che scompare nel limite termodinamico con .
Per arrivare all’equazione di stato, basta calcolare l’entropia prendendo il logaritmo della funzione di partizione:
sempre perchè siamo interessati al limite possiamo togliere i di troppo.
la pressione è dunque:
ovvero:
Dall’ensemble canonico
il fattore dovuto ai momenti, risultato di integrali gaussiani indipendenti, viene spesso riscritto definendo una quantità con le dimensioni di una lunghezza:
detta lunghezza d’onda termica di de Broglie (scala per capire se si deve passare alla MS quantistica).
La funzione di partizione diventa:
Ancora una volta approssimo il fattoriale con Stirling, e passo al logaritmo per trovare l’energia libera:
per ricavare l’equazione di stato calcolo la pressione:
Commenti
Notiamo che, come doveva essere, la termodinamica ricavata a partire dai due enseble coincide, almeno per il caso del gas perfetto (imponendo che si usi lo stesso valore per la costante di Boltzmann).