Teorema di Lagrange

Versione 1-dim §

Sia $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ una funzione continua e derivabile in $(a,b)$. Vale:

$$f(b)-f(a)=f^{\prime }(c)(b-a)c\in (a,b)$$

per un qualche $c$.

Dim §

Si applica il teorema di Rolle ad una funzione ausiliaria $g$(faccio in modo che $g(a)=g(b)$), basta sottrarre una retta appropriata.

Versione n-dim §

Sia $f:A\subseteq {\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ una funzione differenziabile. Scelti due punti $x_1,x_2\in A$ allora:

$$f(x_2)-f(x_1)=\nabla f(c)\cdot (x_2-x_1)$$

Per un appropriato $c$ nel segmento tra $x_1$ e $x_2$: $c=\lambda x_1+(1-\lambda )x_2$ per qualche $\lambda \in [0,1]$.

Dim §

ci riconduciamo al caso unidimensionale, sfruttando la parametruzazzione del segmento già data nella defunuzione: vediamo la funzione $f(\lambda )$, che è unidimensionale, fissando gli estremi $x_1,x_2$ prima. Applicando Lagrange 1-dim:

$$f(1)-f(0)=f^{\prime }(\overline{\lambda })(1-0)$$

quando $\lambda =0$ siamo su $x_2$, $\lambda =1$ su $x_1$. $f^{\prime }(\overline{\lambda })$ è la derivata nella direzione ($x_2-x_1$), essendo $f$ differenziabile si può esprimere con il gradiente, ottenendo l’asserto del teorema $QED$.

Corollario interessante §

Sia $g$ una funzione $C^2$, applichiamo Lagrange alla sua derivata $g^{\prime }$:

$$g^{\prime }(y)-g^{\prime }(x)=g^{\prime \prime }(z)(y-x)z\in [x,y]$$

ora integriamo in $y$ da $x$ a $y$, usando il teorema fondamentale del calcolo integrale:

$$g(y)-g(x)-g^{\prime }(x)(y-x)=\frac{1}{2}{g}^{\prime \prime }(z)(y-x{)}^2$$

che possiamo riscrivere come:

$$g(y)=g(x)+g^{\prime }(x)(y-x)+\frac{1}{2}{g}^{\prime \prime }(z)(y-x{)}^2$$

Una versione al secondo ordine di Lagrange.

Si estende ugualmente a più dimensioni, considerando la funzione $g(\lambda ):=f(\lambda y+(1-\lambda )x)$ compare l’Hessiano:

$$f(y)=f(x)+\nabla f(x)(y-x)+\frac{1}{2}(y-x{)}^{T}H(z)(y-x)$$

con $z$ nel segmento tra $y$ e $x$ come per Lagrange n-Dim.

Non è altro che una generalizzazione di Lagrange ad ogni ordine, è il resto di Lagrange della serie di Taylor.