Two state system §

Uno dei modelli più semplici da studiare della meccanica statistica, utile come controllo, per verificare l’equivalenza degli ensemble nel limite termodinamico.

L’hamiltoniana §

L’insieme degli stati è definito come ${\Omega }_N=\{-1,1{\}}^N$, l’hamiltoniana

$$\mathcal{H}(\sigma )=h\sum _{i=1}^N{\sigma }_i$$

l’energia è semplicemente:

$$h\left(\#\text{ spin in su}-\#\text{ spin in giuˋ}\right)$$

avrà quindi valori in $\{-Nh+2kh|k=0,\dots N\}$.

Fissata un’energia $E$, corrispondono ad essa:

$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{\frac{E/h+N}{2}}\right)$$

Possiamo calcolare l’entropia microcanonica passando al logaritmo. Siccome siamo interessati al limite termodinamico, usiamo la Formula di Stirling. Per semplicità assumiamo $h=1$. Definisco l’energia per particella $E=eN$, e la quantità $\alpha =\frac{1+e}{2}$.

$$S(E)=N(1-\alpha )\ln (1-\alpha )-N\alpha \ln \alpha -N+N\alpha -N(1-\alpha )\ln (N(1-\alpha ))+N(1-\alpha )$$

passando all’entropia per particella $s(e):=\frac{S(E)}{N}$

$$s(e)=-\frac{(1+e)}{2}\ln \frac{(1+e)}{2}-\frac{(1-e)}{2}\ln \frac{(1-e)}{2}$$