Sistemi reticolari §

Perchè ha senso studiare modelli semplificati, su un reticolo?

1. la parte complicata da trattare ed interessante è solo quella dovuta al potenziale, le interazioni
2. possiamo ignorare i momenti!

Lavoriamo sui sitemi reticolari, ovvero in ${\mathbb{Z}}^d$. Indichiamo un volume finito con $\Lambda ⋐{\mathbb{Z}}^d$.

L’ insieme degli stati microscopici di un sistema nel volume $\Lambda$ non è altro che un elemento dell’insieme

$$\omega \in {\Omega }_{\Lambda },{\Omega }_{\Lambda }:=\{-1,1{\}}^{|\Lambda |}$$

e sarà quindi della forma $\omega =({\omega }_i{)}_{i\in \Lambda }$. Torna utile identificare un volume $\Lambda$ con le coppie di siti adiacenti, specialmente nel caso di interazioni nearest neighbour.

$${\mathcal{E}}_{\Lambda }:=\{(i,j)\subset \Lambda |i\sim j\}$$

Per ogni volume finito $\Lambda$, l’energia della configurazione $\omega$ è determinata dall’hamiltoniana:

$${\mathcal{H}}_{\Lambda }:\omega \mapsto \mathbb{R}$$

Come per i sistemi continui, si definisce un’energia potenziale $U$ tramite un insieme di interazioni $({\Phi }_k(x){)}_{k\in 1,2,\dots }$, ovvero interazioni tra $k$ siti:

$$U(\Omega ):=\sum _{\xi \subset \Omega }{\Phi }_{|\xi |}(\xi )$$

Diverse interazioni (diverse hamiltoniane) danno luogo a modelli diversi:

1. Lattice gas