Ordine di un metodo numerico

Un metodo numerico $\Phi$ si dice di ordine p, se per una qualche norma vettoriale vale:

$$||T(x,y;h)||\le C{h}^p$$

uniformemente nell’intervallo di definizione d’interesse, con $C$ costante indipendente da $x,y$ e $h$. Ovvero $||T||=O(h^p)$. Da notare che $p>0$ implica la Consistenza di un metodo numerico.

Esempi §

Vediamo qualche esempio:

$$f^{\prime }(x)=u(x)$$

Usiamo Eulero:

$${\tilde{u}}_h(x)=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

L’errore di troncamento è la differenza con la soluzione analitica:

$$T=|{\tilde{u}}_h(x)-u(x)|=|\frac{f(x+h)-f(x)}{h}-f^{\prime }(x)|$$

L’idea che si sfrutta sempre è espandere con Taylor $u$ attorno ad $x$, ed esprimere il resto in forma di Lagrange, bisogna capire dove fermarsi, proviamo con l’ordine due:

$$T=\frac{1}{h}[f(x)+h{f}^{\prime }(x)+\frac{h^2}{2}{f}^{\prime \prime }(\xi )-f(x)]-f^{\prime }(x)$$ $$T=\frac{h}{2}{f}^{\prime \prime }(\xi )=Ch$$

quindi è di ordine 1.

Vediamo un altro metodo stesso problema, approssimare la derivata di una funzione, al secondo ordine: “leap-frog”, praticamente Verlet:

$${\tilde{u}}_h(x)=\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}$$

Spoiler: è del secondo ordine