Decomposizione di Schur §

Teorema (Schur) Sia $A\in {\mathbb{C}}^{n\times n}$. Esiste $Q$ unitaria tale che:

$$Q^{H}AQ=U=\Lambda +U^{+}$$

dove $U$ è triangolare superiore.

Dim Per induzione sulla dimensione $n$. Il caso $n=1$ è banale, basta porre $Q=1$. Supponiamo l’asserto vero per matrici di dimensione $n-1$. Siano ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$ gli autovalori di $A$. Sia $x_1$ un autovettore corrispondente all’autovalore ${\lambda }_1$ e assumiamo, s.p.g. che $x_1^H{x}_1=1$. Consideriamo la matrice $X=(x_1,X_2)$ unitaria, ovvero $X_2\in {\mathbb{C}}^{n\times (n-1)}$ e con colonne ortonormali, quindi $x_1^H{X}_2=0$. Si ha

$$X^{H}AX=\left(\begin{array}{c}{x}_1^H\\ X_2^H\end{array}\right)A(x_1,X_2)=\left(\begin{array}{cc}{x}_1^{H}A{x}_1& x_1^{H}A{X}_2\\ X_2^{H}A{x}_1& X_2^{H}A{X}_2\end{array}\right)$$ $$=\left(\begin{array}{cc}{\lambda }_1& x_1^{H}A{X}_2\\ {\lambda }_1{X}_2^H{x}_1& X_2^{H}A{X}_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{\lambda }_1& x_1^{H}A{X}_2\\ 0& X_2^{H}A{X}_2\end{array}\right)$$

Otteniamo quindi una matrice triangolare superiore a blocchi. Si verifica facilmente che gli autovalori sono l’unione degli autovalori dei singoli blocchi diagonali, con le rispettive molteplicità; la matrice $X^{H}AX$ è simile ad $A$, dunque ha stesso spettro, ne segue che $A_2:=X_2^{H}A{X}_2$ ha spettro ${\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n$. Per ipotesi induttiva, sappiamo che possiamo assumere l’esistenza di una matrice unitria $Q_2$ tale che:

$$Q_2^H{A}_2{Q}_2=U_2$$

con $U_2$ triangolare superiore. A partire da questa è facile costruire la $Q$ unitaria per la matrice $A$:

$$Q:=X\left(\begin{array}{cc}1& 0^H\\ 0& Q_2\end{array}\right)$$

infatti si ha che

$$Q^{H}AQ=\left(\begin{array}{cc}1& 0^H\\ 0& Q_2^H\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{\lambda }_1& x_1^{H}A{X}_2\\ 0& X_2^{H}A{X}_2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0^H\\ 0& Q_2\end{array}\right)$$ $$=\left(\begin{array}{cc}1& 0^H\\ 0& Q_2^H\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{\lambda }_1& x_1^{H}A{X}_2{Q}_2\\ 0& X_2^{H}A{X}_2{Q}_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{\lambda }_1& x_1^{H}A{X}_2{Q}_2\\ 0& Q_2^H{X}_2^{H}A{X}_2{Q}_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{\lambda }_1& x_1^{H}A{X}_2{Q}_2\\ 0& U_2\end{array}\right)$$

che conclude la dimostrazione.

Corollario Sia $A\in {\mathbb{C}}^{n\times n}$, sia $\Lambda +U^{+}$ la sua decomposizione di Schur. Si ha $U^{+}=0$ se e solo se $A$ è normale.

Dim Se $A$ è normale, allora $U$ è diagonale. Per prima cosa, $U$ è normale:

$$U^{H}U=(Q^{H}AQ{)}^H(Q^{H}AQ)=Q^H{A}^{H}AQ=Q^{H}A{A}^{H}Q=Q^{H}AQ{Q}^H{A}^{H}Q=U{U}^H$$

Mostriamo per induzione che una matrice triangolare superiore e normale è diagonale. Caso $n=1$ ovviamente vero. Assumiamo la tesi per $n-1$. Dato che $U$ è triangolare superiore, sappiamo che l’elemento $(1,1)$ della matrice $U^{H}U$ è $|u_{1,1}{|}^2$, mentre quello della matrice $U{U}^H$ = ${\sum }_{j=1}^n|u_{1j}{|}^2$, ovvero il modulo quadro della prima riga. Siccome abbiamo dimostrato essere normali, devono essere uguali, dunque $u_{1j}=0$ con $j>1$, e la prima riga ha tutti zeri tranne che per il primo elemento. Indichiamo con $U_{n-1}$ la sottomatrice ottenuta rimuovendo la prima riga e colonna da $U$. Continua ad essere triangolare superiore, e normale. Per ipotesi induttiva è diagonale, dunque $U$ lo è.

Dimostriamo ora che se $U^{+}=0$, ovvero $U$ è diagonale, $A$ è normale.

$$A^{H}A=(Q\Lambda Q^H{)}^H(Q\Lambda Q^H)=Q{\Lambda }^H\Lambda Q^H$$

Analogamente

$$A{A}^H=(Q\Lambda Q^H)(Q\Lambda Q^H{)}^H=Q\Lambda {\Lambda }^H{Q}^H$$

Ma le matrici diagonali commutano: ${\Lambda }^H\Lambda =\Lambda {\Lambda }^H$, dunque $A$ è normale. $\square$