Funzioni semplici

Classe di partenza per defnire l’ Lebesgue’s integral, in letteratura si trovano definizioni un po’ diverse. Banalmente, una funzione semplice (unidimensionale) è una funzione $\varphi :E\to [0,\infty ]$ che assume un numero finito di valori non negativi(è costante a tratti).

$$C=\{f(a)|a\in E\}|C|<\infty$$

Si può dunque rappresentare come combinazione lineare finita di funzioni caratteristiche di insiemi misurabili:

$$\varphi (x)=\sum _{n=1}^M{c}_n{\chi }_{E_n}(x)$$

Richiedendo che le $c_n$ siano tutte distinte e gli insiemi $E_n$ disgiunti, la rappresentazione è unica. $E_n$ sono insiemi misurabili, infatti considerando le preimmagini dei valori che assume, (che sono misurabili per ipotesi), si ottiene la rappresentazione desiderata detta canonica:

$$F_k:=\{\omega |\varphi (\omega )=c_k\}\varphi (x)=\sum _{k=1}^N{c}_k{\chi }_{F_k}(x)$$

Definisco in maniera ovvia l’integrale di una funzione semplice rispetto ad una misura $\mu$:

$${\int }_E\varphi d\mu :=\sum _{n=1}^M{c}_n\mu (E_n)$$

Bisogna stare attendi, se la misura $\mu$ non è finita. Adottiamo la solita convenzione $0\cdot \infty =0$. Oppure si può definire le funzioni semplici su un dominio finito per la misura, e poi generalizzare, come fanno Kolmogrov e Fomin.

Notiamo che la funzione di Dirichlet è una funzione semplice, se uso la misura di Lebesgue l’integrale è nullo:

$${\int }_{[0,1]}D(x)d\mu (x)=0\cdot \mu ([0,1]\setminus \mathbb{Q})+1\cdot \mu (\mathbb{Q}\cap [0,1])=0$$

Oss §

L’integrale è indipendente dalla rappresentazione. Se consentiamo ai coefficienti $c_n$ di essere uguali, e gli insiemi non disgiunti, possiamo comunque dimostrare l’indipendenza del valore dell’integrale, mostrando che è uguale a quello calcolato con la rappresentazione canonica.