Teorema di Banach-Caccioppoli

Teorema del punto fisso per contrazioni in spazi metrici.

Definizione §

Sia $(X,d)$ uno Spazio metrico, e $\varphi :X\mapsto X$ una funzione viene detta contrazione se esiste una costante $L\in [0,1)$ tale che $\forall x,y\in X$

$$Ld(\varphi (x),\varphi (y))\le d(x,y)$$

Quindi $\varphi$ contrae nel senso che accorcia le distanze.

Teorema §

Sia $(X,d)$ uno spazio metrico non vuoto, completo e $\varphi$ una contrazione su di esso. Definiamo la successione per ricorsione:

1. $y_0=x$
2. $y_{n+1}=\varphi (y_n)$ dove $x$ è un punto di $X$ arbitrario (possiamo perchè è non vuoto).

Valgono i seguenti fatti:

1. la successione converge ${\lim }_{n\to \infty }{y}_n=y$
2. il limite è unico
3. $y$ è un punto fisso della contrazione: $\varphi (y)=y$

Dim §

Facciamo vedere che è una successione di Cauchy, pertanto dalla completezza dello spazio metrico converge ad un elemento dello spazio stesso. La distanza tra due elementi consecutivi della successione è:

$$d(y_n,y_{n+1})=d(\varphi (y_{n-1}),\varphi (y_{n-2}))\le Ld(y_{n-1},y_{n-2})=\cdots \le L^{n}d(x_0,x_1)$$

e dato che $L\in [0,1)$ la distanza va a zero nel limite. Ma dobbiamo far vedere che la serie è di Cauchy. Ma il nostro bound implica quello affinchè la seria sia di Cauchy, basta usare la disuguaglianza triangolare. Siano $m,n\in \mathbb{N}$ e $n<m$.

$$d(y_n,y_m)\le d(y_n,y_{n+1})+\dots d(y_{m-1},y_m)$$

Possiamo maggiorare ogni termine con il risultato precedente.

$$\le d(x_0,x_1)\sum _{i=n}^m{L}^i=d(x_0,x_1)\sum _{i=0}^{m-n-1}{L}^{i+n}=d(x_0,x_i)L^n\sum _{i=0}^{m-n-1}{L}^i$$

Qust’ultima è una serie geometrica e vale:

$$\sum _{i=0}^{n-m-1}{L}^i=\frac{1-L^{n-m}}{1-L}\le \frac{1}{1-L}$$

quindi nel limite $n\to \infty$:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }d(x_0,x_i)\frac{L^n}{1-L}=0$$

quindi la serie è di Cauchy.

Facciamo vedere che $y$ è un punto fisso di $\varphi$. Per continuità:

$$\varphi (y)=\underset{n\to \infty }{\lim }\varphi (y_n)=\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_n=y$$

Dimostriamo l’unicità per assurdo: siano $x,y\in X$ entrambi punti limite della sucessione. Calcoliamo la loro distanza, e sfruttiamo che sono entrambi punti fissi:

$$d(x,y)=d(\varphi (x),\varphi (y))\le Ld(x,y)$$

Siccome $x\ne y$ $d(x,y)>0$. Dividendo da entrambe le parti si ottiene l’assurdo:

$$1\le L$$

ma per ipotesi $L\in [0,1)$. $QED$