Insieme convesso

Un insieme $S\subseteq {\mathbb{R}}^n$ si dice convesso se per ogni coppia di punti $x_1,x_2\in S$ si ha che:

$$\lambda x_1+(1-\lambda )x_2\in S\forall x_1,x_2\in S,\forall \lambda \in [0,1]$$

ovvero l’insieme contiene anche il segmento che collega i due punti.

Si definisce combinazione convessa una Combinazione conica tale che la somma dei coefficienti non negativi è pari ad uno:

$$y={\alpha }^{T}x{\alpha }^{T}1=1$$

con $1$ si è indicato il vettore di uno.

Un controllo: supponiamo che l’elemento $x_1$ della definizione precedente sia anch’esse combinazione conica di altri due elementi di $S$:

$$\lambda x_1+(1-\lambda )x_2=\lambda [\mu x_3+(1-\mu )x_4]+(1-\lambda )x_2$$

consideriamo la somma dei coefficienti:

$$\lambda \mu +\lambda (1-\mu )+(1-\lambda )=\lambda \mu +\lambda -\lambda \mu +1-\lambda =1$$

come doveva essere.

Teorema Intersezioni §

L’intersezione di un numero finito di insiemi convessi è un insieme convesso. Banale!

In combinazione con il teorema precedente si nota una cosa utile: se l’insieme ammissimile è definito tramite curve di livello di fuzioni convesse:

$$\begin{gathered} g_1(x)\le 0, \\ {g}_2(x)\le 0 \\ \dots \end{gathered}$$

è un insieme convesso.