Formula di Stirling §

$$\underset{N\to \infty }{\lim }\frac{N!}{N^N{e}^{-N}\sqrt{(}2\pi N)}=1$$

Dim §

$N!=\Gamma (N+1)$

$$\Gamma (t)={\int }_0^{\infty }{z}^{t-1}{e}^{-z}dz$$ $$\Gamma (N+1)={\int }_0^{\infty }{z}^N{e}^{-z}dz={\int }_0^{\infty }{e}^{-(-N\ln z+z)}dz$$

Uso l’approssimazione di picco. Il massimo della funzione all’esponente si ha per $z=N$. La derivata seconda vale $N$

$$\underset{N\to \infty }{\lim }\frac{N^N{e}^{-N}\sqrt{2\pi N}}{\Gamma (N+1)}=1$$

$\square$

E’ un’approssimazione asintotica della funzione gamma:

$$\Gamma (t)\sim (t-1{)}^{(t-1)}{e}^{-(t-1)}\sqrt{2\pi (t-1)}$$

ovviamente posso ignorare i $-1$.