Teoremi sulla convergenza uniforme §

Assumiamo che la successioni di funzioni $f_n\to f$ converga puntualmente. In quali casi riesco a dimostrare la convergenza uniforme $f_n\rightrightarrows f$ ?

Lipshitz continuità §

Sia $f_n\to f$. Inoltre, siano $f_n$ lipshitz continute su un compatto $I$:

$$\forall x,y\in I|f_n(y)-f_n(x)|\le C|y-x|$$

per ogni $n$, con $C>0$.

Allora $f_n\rightrightarrows f$ su $I$.

Dim §

Consideriamo un ricoprimento finito del compatto $I$. Partendo dall’unione di tutte le palle di un certo raggio $\delta$, prendiamo un sottoricoprimento finito Quindi $I={\cup }_i^M{B}_{\delta }(x_i)$. Siccome abbiamo convergenza puntuale, per ogni punto $x_i$ centri delle palle, vale:

$$|f_n(x_i)-f_m(x_i)|<ϵ\forall n,m\ge N_i$$

Siccome è un insieme finito è sicuramente ben definito il massimo:

$$N:=\underset{i\in [1,\dots ,M]}{\max }\{N_1,\dots ,N_M\}$$

quindi

$$|f_n(x)-f_m(x)|\le |f_n(x)-f_n(x_i)|+|f_n(x_i)-f_m(x_i)|+|f_m(x_i)-f_m(x)|<3ϵ$$

infatti per la lipshitz continuità:

$$|f_n(x)-f_n(x_i)|\le C|x-x_i|$$

basta scegliere il raggio delle palle iniziali

$$\delta =\frac{ϵ}{C}$$

il secondo pezzo segue per la convergenza puntuale quando $n,m\ge N$. Quindi è una successione di Cauchy, ed essendo lo spazio delle funzioni continue $C[a,b]$ completo, esiste il limite ed è continuo, e la convergenza è uniforme. $\square$