Finite difference

Un approccio numerico per le PDE molto semplice: discretizzare il domnio spaziale e temporale, approssimare le derivate con rapporti di differenze finite.

FD linear advection §

Vediamo questo approccio per l’equazione parabolica al prim’ordine linear advection, in $1D+1D$. Il primo passo è discretizzare il tempo e lo spazio in $N$ punti: indichiamo con $u_i^n$ il valore della funzione nel punto spaziale $i=1,\dots ,N$ al tempo $n=0,\dots ,T$, fissando una risoluzione spaziale $\Delta x$ e temporale $\Delta t$. Discretizzando l’equazione otteniamo:

$$\frac{u_i^{n+1}-u_i^n}{\Delta t}=-a\frac{u_{i+1}^n-u_{i-1}^n}{2\Delta x}$$

Abbiamo stimato la derivata temporale con Eulero (ordine 1), la derivata spaziale con Verlet (ordine 2 vedi qui).

Esplicitando per il valore al tempo $n+1$ otteniamo:

$$u_i^{n+1}=u_i^n-\frac{1}{2}\frac{a\Delta t}{\Delta x}(u_{i+1}^n-u_{i-1}^n)$$

Il termine costante $C:=\frac{a\Delta t}{\Delta x}$ viene detto $CFL$ number, Courant-Friedrichs-Lewy.

Osservazione 2 §

quando calcoliamo il valore nel punto 1, “caschiamo fuori”, infatti ci serve il valore nel punto 0: si risolve il problema aggiungendo manualmente dei punti ”ghost points” (stesso problema per l’ultimo punto n). Oppure condizioni di bordo periodiche.

Osservazione 2 §

Il metodo è instabile! Usiamo la fourier mode analysis per farlo vedere: l’equazione è lineare, quindi ogni modo di fourier non si influenza. Vediamo che succede all’ampiezza di un particolare modo:

$$a_i^n=A^n{e}^{j\theta i}$$

Abbiamo usato $j$ come unità immaginaria: Calcoliamo il rapporto delle ampiezze per tempi succesivi (usando lo schema numerico):

$$\left|\frac{A^{n+1}}{A^n}\right|=|e^{j\theta i}-\frac{C}{2}{e}^{j\theta i}(e^{\theta }-e^{-\theta })=|1-jC\sin \theta |$$

Il modulo quadro è:

$$|\frac{A^{n+1}}{A^n}{|}^2=1+C^2{\sin }^2\theta \ge 1$$

quindi instabile indipendentemente dal valore della costante $C$.