Condizioni di Ottimalità Primali

Ottimalità vincolata §

Diamo una condizione di ottimalità necessaria per un problema di ottimizzazione vincolata, legata al Cono Tangente.

Teorema §

Sia $f:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ una funzione differenziabile su $C\subseteq {\mathbb{R}}^n$ insieme chiuso. Allora se $\overline{x}\in C$ è un minimo locale, deve necessariamente valere:

$$\nabla f(\overline{x}{)}^{T}d\ge 0,\forall d\in T_C(\overline{x})$$

Dim §

Siccome $d\in T_C(\overline{x})$, per definizione esistono due successioni tali che:

$$x^k\to \overline{x},d^k\to d$$

siccome per ipotesi $\overline{x}$ è un minimo locale, allora per tutti i $k\ge \overline{k}$ abbastanza grandi deve valere:

$$f(\overline{x})\le f(x^k)=f(d^k{\tau }^k+\overline{x})$$

espando con Taylor attorno a $\overline{x}$

$$f(\overline{x})\le f(\overline{x})+{\tau }^k\nabla f(\overline{x}{)}^T{d}^k+o(|d^k{\tau }^k|)$$

divido per ${\tau }^k$ e passo al limite, ottenendo la tesi. $\square$