Insieme di Vitali
insieme non lebegue misurabile. Vediamo la costruzione.
Claim
_Sia una misura su tale che che:
- invariante per traslazioni: Allora è la funzione identicamente nulla .
In altre parole non esiste una misura bella ed utile su tutto l’insieme delle parti della retta reale.
Dim
Sia con la relazione di equivalenza:
che definisce gli insieme quozienti:
Costruiamo un insieme con le proprietà:
- per ogni classe di equivalenza esiste un elemento con
- per ogni t.c. Ovvero scegliamo un solo rappresentante per ogni classe. Ciò è possibile grazie all’assioma della scelta Axioms of set theory.
Definiamo ora una famiglia numebrabile di insieme :
dove è una enumerazione dei razionali nell’intervallo .
Gli insiemi di questa famiglia sono disgiunti:
Dim
si procede per assurdo. Sia , dalla definizione degli insieme:
quindi
ma allora
e per la definizione di . Segue che
in conclusione (l’enumerazione è ovviamente biunivoca).
Consideriamo ora l’unione numerabile . Si vede facilmente che valgono le inclusioni:
Ora usiamo le proprietà della nostra misura. Segue dalla monotonia e dalla sigma additività:
E’ facile vedere l’assurdo. Sia . Siccome possiamo costruire l’intervallo traslando ed unendo 3 copie disgiunte dell’intervallo concludiamo che .
Segue dall’invarianza per traslazioni della misura che ogni insieme ha la stessa misura. E’ facile vedere come l’unico valore che soddisfa le disuguaglianze sia la misura sempre nulla in modo che . Qualunque altro valore farebbe divergere la serie, che deve però essere finita e minore di 3C.