Funzioni misurabili

Mesurable functions §

Una funzione $f:E\to F$ si dice misurabile se la preimmagine di un insieme misurabile è misurabile (ispirata da funzione continue in topologia). Ovvero: Sia $\mathcal{E}\subseteq 2^E$ e $\mathcal{F}\subseteq 2^F$ Sigma algebra dei rispettivi insiemi, $f$ è misurabile se $\forall A\in \mathcal{F}$ allora $f^{-1}(A)\in \mathcal{E}$ , rimaniamo nella sigma algebra del dominio (gli insiemi misurabili dove è definita una certa misura Misura).

Questa definizione sarà utile per le capire quali funzioni sono Lebesgue integrabili Lebesgue’s integral (spoiler devono essere misurabili).

Osservazioni elementali §

1. La preimmagine $f^{-1}$ preserva le operazioni insiemistiche. Segue dalle definzioni, estremamente utile.
2. Se una funzione è misurabile su un sottoinsieme della sigma algebra che la genera tutta, allora è misurabile, ovvero: sia $h:E\mapsto F$ e $\mathcal{C}\subseteq \mathcal{E}$ ed inoltre $\sigma (\mathcal{C})=\mathcal{E}$. Allora se $\forall c\in \mathcal{C}$ vale $h^{-1}(c)\in \mathcal{F}$, segue che $h$ è $\mathcal{E}$-misurabile. Proof considero l’insieme degli elementi dove è misurabile: $\mathcal{B}:=\{B\in \mathcal{E}:h^{-1}(B)\in \mathcal{F}\}$. Per ipotesi $\mathcal{C}\subseteq \mathcal{B}$. Mostrando che $\mathcal{B}$ è una sigma algebra (lo è perchè $h^{-1}$ preserva le operazioni insiemistiche), segue che:

$$\sigma (\mathcal{C})=\mathcal{E}\subseteq \sigma (\mathcal{B})=\mathcal{B}$$

quindi l’insieme dove è misurabile è proprio la sigma algebra di partenza. $\square$ Esempio Con funzioni $f:S\mapsto \mathbb{R}$ con la sigma algebra $\Sigma$ per $S$ e di Borel $\mathcal{B}$ per i reali, e il sottoinsieme base:

$$\Pi :=\{(-\infty ,x]:x\in \mathbb{R}\}\mathcal{B}=\sigma (\Pi )$$

quindi basta far vedere che gli insiemi sono misurabili:

$$\{h\le c\}:=\{s\in S:h(s)\le c\}\in \Sigma \forall c\in \mathbb{R}$$

per concludere che $h$ è $\Sigma$-misurabile.

Successione monotna di funzioni semplici §

Sia $f$ una funzione misurabile non negativa, allora esiste una successioni di funzioni semplici $h_n$ tale che $h_n\uparrow f$.

Dim §

Sfrutto le funzioni scala, definite:

$$h_n(x):=\{\begin{array}{l}n\text{ se }f(x)\ge n\\ \frac{k}{2^n}\text{ se }\frac{k}{2^n}\le f(x)\le \frac{k+1}{2^n}\end{array}0\le k\le n{2}^n-1$$

è una funzione semplice, possiamo rappresentarla come:

$$h_n(x)=\sum _{k=0}^{n{2}^n-1}\frac{k}{2^n}{1}_{\frac{k}{2^n}\le f(x)\le \frac{k+1}{2^n}}(x)+n{1}_{f(x)\ge n}(x)$$

Gli insiemi delle funzioni caratteristiche sono misurabili, segue dalla misurabilità di $f$.

Facciamo vedere che $h_n\uparrow f$.

1. Se $f(x)=\infty$, $h_n(x)=n$, quindi $h_n(x)\uparrow f(x)$.
2. Se $f(x)<\infty$, allora esiste $n_0\in \mathbb{N}$ tale che $f(x)<n_0$, consideriamo $n\ge n_0$, per tutte le funzioni $h_n$ vale nel punto $x$:

$$k\le 2^{n}f(x)\le k+10\le k\le n{2}^n-1$$

ovvero $k=\lfloor 2^{n}f(x)\rfloor$, la parte intera, quindi

$$h_n(x)=\frac{\lfloor 2^{n}f(x)\rfloor }{2^n}$$

remark questa riscrittura della funzione scala è quella da ricordare! ma vale per la parte intera di un numero reale $\lfloor x\rfloor \le x<\lfloor x\rfloor +1$, ovvero $\lfloor x\rfloor >x-1$,che nel nostro caso fornisce

$$h_n(x)\le f(x)h_n(x)>\frac{2^{n}f(x)-1}{2^n}=f(x)-\frac{1}{2^n}$$

quindi:

$$h_n(x)\le f(x)<h_n(x)+\frac{1}{2^n}f(x)<n$$

che implica che $h_n(x)\to f(x)$. Facciamo vedere la monotonia, (per il caso $f(x)=\infty$ è già stato dimostrato).

1. Caso che $n\le n+1\le f(x)$, allora $h_n(x)=n<h_{n+1}(x)=n+1$.
2. Caso $n\le f(x)\le n+1$, allora $h_n(x)=n$ e $h_{n+1}(x)=\frac{\lfloor 2^{n+1}f(x)\rfloor }{2^{n+1}}$

$$h_{n+1}(x)=\frac{\lfloor 2^{n+1}f(x)\rfloor }{2^{n+1}}\ge \frac{\lfloor 2^{n+1}n\rfloor }{2^{n+1}}=n=h_n(x)$$

3. Caso $f(x)\le n<n+1$:

$$h_{n+1}(x)=\frac{\lfloor 2^{n+1}f(x)\rfloor }{2^{n+1}}\ge \frac{\lfloor 2^{n+1}f(x)\rfloor }{2^{n+1}}$$

Segue dalla proprietà $n\lfloor x\rfloor \le \lfloor nx\rfloor$ con $n\in \mathbb{N}$.

$$x=\lfloor x\rfloor +r0\le r<1$$ $$\lfloor nx\rfloor =n\lfloor x\rfloor +\lfloor nr\rfloor \ge n\lfloor x\rfloor$$

quindi:

$$h_{n+1}(x)-h_n(x)=\frac{\lfloor 2^{n+1}f(x)\rfloor -2\lfloor 2^{n}f(x)\rfloor }{2^{n+1}}\ge 0$$

provando che $h_n\uparrow f$. $\square$

Lemma di unicità dell’integrale §

Indipendenza della successione. Siano $h_n\uparrow f$ e $g_n\uparrow f$. Allora:

$$\underset{n}{\lim }I(h_n)=\underset{n}{\lim }I(g_h)=I(f)$$

Dim §

Prima dimostriamo che se $g\le {\lim }_n{h}_n=f$ con $g$ semplice, allora $I(g)\le {\lim }_{n}I(h_n)=I(f)$.

1. Supponiamo $g=c{1}_E(x)$, con $E$ misurabile. Se $c=0$, vale banalmente dal fatto che $h_n$ sono non negative, quindi $I(g)=0\le {\lim }_{n}I(h_n)$. Assumiamo $c>0$.

Definiamo una nuova funzione semplice:

$$1_E(x)\cdot h_n(x)\le h_n(x)$$

continua a valere $g\le {\lim }_n{1}_E(x)h_n(x)$.

Possiamo rappresentare la nuova funzione semplice come:

$$\sum _{i=1}^N{a}_i{1}_{A_i\cap E}(x)$$

(prodotto di indicatrici è l’indicatrice dell’intersezione).

Fissiamo $0<ϵ<c$, definiamo una successioni di insiemi:

$$C_n:=\{x\in E:h_n(x)\ge c-ϵ\}$$

siccome $h_n(x)$ è crescente, lo sono anche gli insiemi $A_n\subseteq A_{n+1}$. Inoltre ${\cup }_n{A}_n\subseteq E$, dalla definizione. Ma vale anche l’inclusione inversa, infatti se $x\in E$, $g(x)=c$ e per ipotesi $g\le {\lim }_n{h}_n$ quindi $x\in C_n$ per tutti gli $n$ maggiori di un certo $M$. Banalmente vale $A_n\subseteq E$. quindi:

$$I(h_n)\ge I(1_E{h}_n)\ge I(1_{A_n}{h}_n)\ge (c-ϵ)\mu (A_n)$$

passando al limite in $n$, sfruttando la Continuity of mesure per successioni monotone, si ha:

$$c\mu (E)-ϵ\mu (E)\le \underset{n}{\lim }I(h_n)=I(f)$$

ma $I(g)=c\mu (E)$. quindi:

$$I(g)\le \underset{n}{\lim }I(h_n)=I(f)$$

2. estendiamo ora a $g$ funzione semplice generica, uso la linearità per funzioni semplici:

$$I(g)=\sum _{i=1}^N{c}_i\mu (E_i)\le \sum _{i=1}^N\underset{n}{\lim }I(1_{E_i}{h}_n)$$

la somma è finita, posso scambiare:

$$\underset{n}{\lim }\sum _{i=1}^{N}I(1_{E_i}{h}_n)=\underset{n}{\lim }I\left(\sum _{i=1}^N{1}_{E_i}{h}_n\right)=\underset{n}{\lim }I(h_n)$$

Segue l’indipendenza dell’integrale dalla particolare successione di funzioni semplici:

$$I(g_k)\le \underset{n}{\lim }I(h_n)=I(f)$$

quindi vale anche per il limite in $k\to \infty$, ovvero:

$$I(f)=\underset{k}{\lim }I(g_k)\le \underset{n}{\lim }I(h_n)=I(f)$$

Proprietà §

1. Linearità dell’integrale di Lebesgue

Per funzioni semplici Siano $f,g\in S{F}^{+}$, funzioni semplici non negative:

$$I(f+g)=I(f)+I(g)$$

Dim §

$$f=\sum _{i=1}^N{a}_i{1}_{A_i}(x)g=\sum _{i=1}^M{b}_i{1}_{B_i}(x)$$

siccome $A_i$ e $B_i$ partizionano $\Omega$, ottengo un’altra rapprestazione valida:

$$A_i^{\prime }:=\bigcup _{j=1}^M{A}_i\cap B_i{B}_i^{\prime }:=\bigcup _{j=1}^N{B}_i\cap A_j$$ $$f=\sum _{i=1}^N\sum _{j=1}^M{a}_i{1}_{A_i\cap B_j}g=\sum _{i=1}^M\sum _{j=1}^N{b}_i{1}_{B_i\cap A_j}$$

Grazie a questo trick la somma si scrive in modo comodo:

$$f+g=\sum _{i=1}^N\sum _{j=1}^M(a_i+b_j)1_{A_i\cap B_j}$$

e l’integrale vale per definizione:

$$I(f+g)=\sum _{i=1}^N\sum _{j=1}^M(a_i+b_j)\mu (A_i\cap B_j)$$ $$=\sum _{i=1}^N{a}_i\sum _{j=1}^M\mu (A_i\cap B_j)+\sum _{j=1}^M{b}_j\sum _{i=1}^N\mu (A_i\cap B_j)$$

siccome sono partizioni di $\Omega$, le sommatorie interne diventano semplicemente la misura dell’insieme fissato dalla prima sommatoria:

$$=\sum _{i=1}^N{a}_i\mu (A_i)+\sum _{j=1}^M{b}_j\mu (B_j)=I(f)+I(g)$$

L’omogeneità segue banalmente, porto fuori dalla sommatoria la costante. $\square$

Per funzioni misurabili non negative

Prendiamo $f_n\uparrow f$ e $g_n\uparrow g$ successioni di funzioni semplici che convergno a due funzioni misurabili non negative. Sappiamo che $I(g_n+f_n)=I(g_n)+I(f_n)$. Inoltre è evitente che $(g_n+f_n)\uparrow (g+f)$. Quindi:

$$I(f+g)=\underset{n}{\lim }I(g_n+f_n)=\underset{n}{\lim }I(g_n)+\underset{n}{\lim }I(f_n)=I(g)+I(f)\square$$