Passaggio a variabili adimensionali

Supponiamo di avere una variabile dipendente $w$ dimensionale che può assumere valori in $[w_m,w_M]$. Dipende dalla fisica del sistema (es temperatura di un materiale). Adimensionalizzare significa trovare $\overline{w}$ tale che i nuovi valori che può assumere sono ad esempio $[0,1]$ oppure $[-1,+1]$ . Banalmente riscalo $w$:

$$\overline{w}=\frac{w-w_m}{w_M-w_m}⟹\overline{w}\in [0,1]$$

Approccio simile per le variavili indipendenti: Se abbiamo variabili spaziali $x,y,z$, possiamo adimensionalizzare in modo simile tenendo conto dello spazio fisico del sistema, quindi $x_m,x_M$ ecc. Possiamo però adimensionalizzare anche rispetto al massimo tra $x_M,y_M,z_M$, preservando le proporzioni spaziali del sistema.

Per la variabile indipendente temporale allo stesso modo:

$$\overline{t}=\frac{t-t_0}{T-t_0}⟹\overline{t}\in [0,1]$$

$t_0$ tempo iniziale, tipicamente posto a zero, $T$ grande è il tempo di osservazione del fenomeno fisico.

Esempio modello traffico §

Flusso in una dimensione, una corsia. Sia $l$ la lunghezza del tratto di strada considerato, la nostra lunghezza caratteristica. Dobbiamo determinare un tempo caratteristico $T$, abbiamo una densità massima ${\rho }_M$ ed una velocità massima $v_M$. Il tempo caratteristico sarà $T=\frac{l}{v_M}$. Le variabili adimensionali indipendenti sono:

• il tempo $\overline{t}=\frac{t}{T}$
• la posizione $\overline{x}=\frac{x}{l}$ Le variabili adimensionali dipendenti sono:
• la densità $\overline{\rho }=\frac{\rho }{{\rho }_M}$
• la velocità $\overline{V}=\frac{V}{V_M}$
• la velocità media $\overline{v}=\frac{v}{v_M}$
• il flusso di veicoli $q$

Queste variabili hanno diverse caratterizzazioni, in base alla scala di osservazione:

• scala microscopica: lo stato è $x_i(t),v_i(t)$ con $t$ var indipendente
• scala mesoscopica: lo stato è ancora inviduato da $x,v$, ma in modo probabilistico:

$$f(t,x,v)$$

densità di probabilità. Quindi le var indipendeti sono $t,x,v$.

• scala macroscopica: lo stato è descritto da quantità medie:

$$\rho (t,x)v(t,x)q(t,x)$$

$(t,x)$ sono le variabili indipendenti.