Lemma di Fatou §

Segue dalla definizione di Liminf limsup di insiemi.

Sia $(A_n{)}_{n\ge 1}$ una successione di insiemi misurabili di uno spazio di misura, allora:

1. $\mu ({\mathrm{liminf}}_n{A}_n)\le {\mathrm{liminf}}_n\mu (A_n)$
2. ${\mathrm{limsup}}_n\mu (A_n)\le \mu ({\mathrm{limsup}}_n{A}_n)$

Proof §

$$\mu (\underset{n}{\mathrm{liminf}}{A}_n)=\mu (\bigcup _{n\ge 1}\bigcap _{m\ge n}{A}_m)$$

la successione delle intersezioni è non decrescente in $n$, quindi per Continuity of mesure:

$$\mu (\underset{n}{\mathrm{liminf}}{A}_n)=\underset{n\to \infty }{\lim }\mu (\bigcap _{m\ge n}{A}_m)\le \underset{n}{\mathrm{liminf}}\mu (A_n)$$

dove abbiamo ricostruito il $\mathrm{liminf}$ semplicemente usando il fatto che l’intersezione di insiemi è contenuta dentro tutti (quindi anche dove $\mu$ è l’inf), e la monotonia della misura. 2.

$$\mu (\underset{n}{\mathrm{limsup}}{A}_n)=\mu (\bigcap _{n\ge 1}\bigcup _{m\ge n}{A}_n)$$

la successione delle unioni è non crescente, quindi per la continutà della misura:

$$\mu (\underset{n}{\mathrm{limsup}}{A}_n)=\underset{n\to \infty }{\lim }\mu (\bigcup _{m\ge n}{A}_n)\ge \underset{n}{\mathrm{limsup}}\mu (A_n)$$

ora l’unione contiene tutti gli altri insiemi, quindi anche quello dove $\mu$ ha il sup, quindi, segue dalla monotonia della misura la tesi. $\square$

Conseguenze §

Sappiamo che per Sequenze monotone esiste l’insieme limite, ovvero $liminf$ e $limsup$ coincidono. Grazie al lemma di Fatou:

$$\underset{n}{\mathrm{liminf}}\mu (A_n)=\underset{n}{\mathrm{limsup}}\mu (A_n)$$

ovvero il limite delle misure esiste (come numero reale).

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\mu (A_n)=\mu (A)$$

questo mi permette anche di legittimare il seguente scambio:

$$\mu (\underset{n\to \infty }{\lim }{A}_n)=\mu (A)=\underset{n\to \infty }{\lim }\mu (A_n)$$

Lemma di Fatou per integrali §

Se vedo $\mu (f)$ come $I(f)$, Fatou continua a valere! Si dimostra usando il Monotone Convergence Theorem. Per l’altro verso devo aggiungere l’ipotesi di una funzione che limita all’alto la successione, infatti non posso usare direttamente la convergenza monotona sulla successione dei sup, perchè è decrescente!

Sia $(f_n{)}_{n\ge 1}$ una successioni di funzioni misurabili non negative, allora:

$$\mu (\underset{n}{\mathrm{liminf}}{f}_n)\le \underset{n}{\mathrm{liminf}}\mu (f_n)$$

Sia $(f_n{)}_{n\ge 1}$ una successione di funzioni misurabili non negative limitate dall’alto da una funzione misurabile $g$ tale che $\mu (g)<\infty$, allora:

$$\underset{n}{\mathrm{limsup}}\mu (f_n)\le \mu (\underset{n}{\mathrm{limsup}}{f}_n)$$

Dim §

1. Sia $g_n:={\inf }_{k\ge n}{f}_k$, allora ${\mathrm{liminf}}_n{f}_n={\lim }_n{g}_n$. Ovvio che $g_k\le f_k$. Il limite è ovviamente monotono non decrescente, posso usare il teorema della convergenza monotona:

$$\mu (\underset{n}{\mathrm{liminf}}{f}_n)=\mu (\underset{n}{\lim }{g}_n){=}^{MCT}\underset{n}{\lim }\mu (g_n)\le \underset{n}{\mathrm{liminf}}\mu (f_n)$$

2. L’osservazione chiave è che i sup di $f_n$ sono gli inf di $-f_n$, che posso rendere non negativa con il bound superiore $g$. Basta applicare il lemma alla successione di funzioni non negative $g-f_n$ ed usare la linearità dell’integrale:

$$\mu (\underset{n}{\mathrm{liminf}}g-f_n)\le \underset{n}{\mathrm{liminf}}\mu (g-f_n)$$ $$\mu (g)-\mu (\underset{n}{\mathrm{limsup}}{f}_n)\le \mu (g)-\underset{n}{\mathrm{limsup}}\mu (f_n)$$

usando il fatto che $\mu (g)<\infty$:

$$\underset{n}{\mathrm{limsup}}\mu (g_n)\le \mu (\underset{n}{\mathrm{limsup}}{g}_n)$$

$\square$