Una PDE non lineare (quasi-lineare), un suo caso semplice è un’esempio di come la non linearità può generare soluzioni non nonostante la condizione iniziale sia smooth. Forma generale:
la non linearità è data dal fattore davanti la derivata spaziale. Ponendo otteniamo un’equazione del trasporto dove la velocità delle caratteristiche dipende dal valore stesso della soluzione, si vede facilmente che può generare discontinuità a funzione gradino (onda d’urto). Spesso si indica nella forma equivalente:
Prendiamo la condizione iniziale , lavoriamo nell’intervallo . Si vede facilmente che per negative la velocità è positiva, quindi la condizione iniziale si sposta verso destra, succede l’opposto per la parte . Quindi la condizione iniziale si schiaccia sempre più tendendo ad una funzione gradino.