Lambda-system

$\lambda$-sistema §

Chiamato anche $d$-sistema (da differenza). Una famiglia di insiemi $\mathcal{D}\subseteq 2^S$ è un $d$-sistema sull’insieme $S$ se e valgono le seguenti proprietà:

• $S\in \mathcal{D}$
• Se $A,B\in \mathcal{D}$ e $A\subseteq B$ allora $B\setminus A\in \mathcal{D}$
• Se $(A_n{)}_{n\ge 1}\subseteq \mathcal{D}$ e $A_n\uparrow A$ allora $A\in \mathcal{D}$

un $\lambda$ sistema è quasi una sigma algebra, gli manca la chiusura per unione però! grazie alla chiusura per intersezione del $\pi$ sistema il gap si colma.

Osservazione 1 Una $\sigma$-algebra è sia un $\pi$ che $\lambda$ sistema. Ma vale anche il contrario:

$$\pi ,\lambda ⟺\sigma$$

Supponiamo che $\Sigma$ sia un $\pi$ e $\lambda$ sistema:

• Siccome è un $\lambda$ sistema contiene tutto l’insieme $S$.
• Il $\lambda$ sistema grazie alla chiusura per differenza, e che contiene $S$ garantisce la chiusura per complementare, infatti:

$$A^c=S\setminus A$$

• proviamo prima la chiusura per unione finita, siano $E,F\in \Sigma$, allora:

$$E\bigcup F=S\setminus (E^c\cap F^c)\in \Sigma$$

(segue dalle leggi di de Morgan). Qui è cruciale che sia anche un $\pi$ sistema. (si usa solo qui). La chiusura per unione numerabile segue subito, infatti la successione unione è monotona:

$$G_n:=E_1\cup E_2\cup \cdots \cup E_n\uparrow G$$

siccome quindi $\bigcup E_n=G\in \Sigma$ per la chiusura per successioni monotone crescenti del $\lambda$ sistema. $\square$

Osservazione 2 Ovviamente $d(A)\subseteq \sigma (A)$, perchè ogni sigma algebra è un $\lambda$ sistema, quindi si ha meno scelta, ed il più piccolo è maggiore. Il min è su un insieme più piccolo.