Cono linearizzato

Il cono linearizzato §

Abbiamo visto come il Cono Tangente sia un’approssimazione locale dell’insieme ammissibile. E se invece tentassimo di approssimare le funzioni vincolo tramite i loro gradienti?

Def §

Sia $C\subseteq {\mathbb{R}}^n$ definito tramite una serie di disuguaglianze ed uguaglianze di funzioni differenziabili:

$$C:=\left\{x\in {\mathbb{R}}^n|g_i(x)\le 0,h_j(x)=0\right\}$$

con $i=1,\dots ,m$ e $j=1,\dots ,p$.

Si dice cono linearizzato dell’insieme $C$ nel punto $\overline{x}$ l’insieme:

$$L_C(\overline{x}):=\left\{x\in {\mathbb{R}}^n|\nabla g_i(x)\le 0,\nabla h_j(x)=0\right\}$$

con $i\in I_0(\overline{x})$.

Che legame c’è tra questo ed il cono tangente?

$$T_C(\overline{x})\subseteq L_C(\overline{x})$$

in generale il cono linearizzato è più grande.

Dim §

Facciamo vedere che se $d\in T_C(\overline{x})$ allora $d\in L_C(\overline{x})$.

essendo $d$ nel cono tangente, esiste la successione di punti ammissibili $x^k\to \overline{x}$, essendo ammissibili deve valore:

$$g_i(x^k)\le 0\forall i$$ $$h_j(x^k)=0\forall j$$

essendo differenziabili, espandiamole attorno al punto $\overline{x}$, anch’esso ammissibile:

$$g_i(\overline{x})+\nabla g(\overline{x}{)}^T(x^k-\overline{x})+o(\Vert x^k-\overline{x}\Vert )\le 0$$ $$h_j(\overline{x})+\nabla h_j(\overline{x}{)}^T(x^k-\overline{x})o(\Vert x^k-\overline{x}\Vert )=0$$

ma $x^k-\overline{x}={\tau }^k{d}^k$. Consideriamo il caso di vincoli attivi

$$\{\begin{array}{l}\nabla g_i(\overline{x})d^k+o(\Vert d^k{\tau }^k\Vert )\le 0\\ \nabla h_j(\overline{x})d^k+o(\Vert d^k{\tau }^k\Vert )=0\end{array}$$

dividendo per ${\tau }^k$ e passando al limite ottengo le disequazioni del cono linearizzato! $\square$

Teorema §

Se le funzioni $g_i,h_j$ sono affini, allora $T_C(\overline{x})=L_C(\overline{x})$.

Dim §

Si passa per le direzioni ammissibili, si fa vedere che se $d\in L_C(\overline{x})$ allora $d$ è anche ammissibile e quindi è in $T_C(\overline{x})$, dimostrando che $L_C(\overline{x})\subseteq T_C(\overline{x})$.

$$\{\begin{array}{l}{g}_i^T(\overline{x}+\lambda d)=g_i^T\overline{x}+\lambda g_i^{T}d\le bi\in I_0(\overline{x})\\ g_i^T(\overline{x}+\lambda d)=g_i^T\overline{x}+\lambda g_i^{T}d\le bi\notin \\ h_j^T(\overline{x}+\lambda d)=h_j^T\overline{x}+\lambda h_j^{T}d=b\end{array}$$

se $d\in L_C(\overline{x})$ allora $d$ rispetta queste tre, per $\lambda \in [0,\overline{\lambda }]$, infatti la prima e terza sono sempre vere, l’unica che pone vincoli è la due, ma per lambda abbasatanza piccoli viene rispettata. $\square$