Weak solutions of continuity equations

Consideriamo l’equazione di continuità

$$u_t+q(u{)}_x=0$$

supponiamo $q$ funzione smooth.

Vediamo in che senso esistono soluzioni deboli di questa equazione, scaricando le derivate da $u$ ad una funzione test Weak deriative.

Integriamo le due derivate con un funzione test $\psi \in C_{cpt}^{\infty }([0,\infty )\times \mathbb{R})$ , sciagliamo come domain temporale $(0,\infty )$ e spaziale tutta la retta $\mathbb{R}$.

$${\int }_0^{\infty }{u}_t\psi dt=-u\psi (0,x)-{\int }_0^{\infty }u{\psi }_{t}dt$$

Avendo scelto il tempo iniziale $t=0$ è comparso un termine di bordo. Per la parte spaziale:

$${\int }_{-\infty }^{\infty }{q}_x\psi dx=-{\int }_{-\infty }^{\infty }q{\psi }_{x}dx$$

Abbiamo i pezzi per ricostruire l’equazione di continuità, integriamo la parte spaziale per il tempo e viceversa, sommiamo:

$${\int }_0^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }[u_t+q_x]\psi dxdt=-{\int }_0^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }[u{\psi }_t+q{\psi }_x]dxdt-{\int }_{-\infty }^{\infty }u\psi (0,x)dx$$

Quindi: Se $u$ è soluzione classica dell’equazione, allora deve valere:

$${\int }_0^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }[u{\psi }_t+q{\psi }_x]dxdt+{\int }_{-\infty }^{\infty }u\psi (0,x)dx=0$$

Ma in questa equazione non compaiono derivate di $u$. E’ naturale definire soluzioni deboli come le $u\in L_{loc}^1$ che soddisfano questa equazione per ogni funzione test $\psi$.

Si può verificare come le soluzioni discontinue sia soluzioni deboli.