Boltzmann Equation

Equazione di Boltzmann §

Descrive l’evoluzione temporale della densità di probabilità degli stati di una particella, partendo da interazioni binarie istantanee (per il gas di Maxwell gli urti)

$${\partial }_{t}f(t,x,v)+v\cdot {\nabla }_{x}f(t,x,v)=Q[f](v)$$

Il termine con la velocità è detto termine diffusivo: senza l’operatore collisionale $Q[f]$ l’equazione si riduce all’ Equazione del trasporto.

L’operatore collisionale è di forma integrale, nel caso di interazioni binarie è quadratico in $f$ (con interazioni con ostacoli fissi risulta lineare, caso Equazione di Lorenz).

$$Q[f](v)={\int }_{{\mathbb{R}}^3}{\int }_{S^2}k(|v-w|,\omega )[f(v^{\prime })f(w^{\prime })-f(v)f(w)]d\omega dw$$

Un integrale sulle velocità e sulle direzioni. Con l’apice sono indicate le velocità post collisione delle particelle che interagiscono.

Interpretazione: si può vedere come due parti:

1. quella di sinistra (a volte indicaga con $Q_{+}[f]$) essendo positiva rappresenta l’incremento della probabilità di avere delle particelle con velocità $v^{\prime }$ e $w^{\prime }$;
2. quello di destra col meno è la rispettiva perdita, abbiamo perso due particelle con $v$ e $w$.
3. il termine $k$ è detto kernel d’interazione, che può essere scomposto in una sezione d’urto differenziale per un fattore.

Quantità conservate §

Usiamo sempre l’ipotesi che:

$$\underset{|x|\to \infty }{\lim }f(t,x,v)=0$$

Del tutto ragionevole visto che vogliamo considerare una distribuzione di probabilità, quindi in $L^1$.

Sia $\varphi (v)$ una funzione, associamo ad essa il suo valore atteso, che sarà una funzione del tempo:

$$q(t):={\mathbb{E}}_f[\varphi ]=\int \varphi (v)f(t,x,v)dvdx$$

Stiamo integrando su ${\mathbb{R}}^3\times {\mathbb{R}}^3$. viene detta quantità conservata se è costante nel tempo.

Ma sappiamo calcolare la derivata grazie all’eq. di Boltzmann:

$$q^{\prime }(t)=\frac{d}{dt}\int \varphi (v)f(t,x,v)dxdv=\int \varphi (v){\partial }_{t}f(t,x,v)dxdv$$ $$=\int \varphi (v)[-v\cdot {\nabla }_{x}f(t,x,v)]dxdv+\int \varphi (v)Q[f](v)dxdv$$

valutiamo il primo addendo, è la somma di 3 termini:

$$\int \varphi (v)v_1{\partial }_{x}fdxdv=\int \varphi (v)v_{1}dv[f(t,x,v)]{|}_{-\infty }^{+\infty }=0$$

per l’ipotesi precedente.

Quindi conta solo l’integrale con l’operatore collisionale.

Def invariante collisionale §

Diciamo che la funzione $\varphi (v)$ è un invariante collisionale se:

$$\int \varphi (v)Q[f]dv=0$$

per ogni $f$ distribuzione di probabilità.

Lemma §

Se per ogni $v,w\in {\mathbb{R}}^3$ si ha (quasi ovunque):

$$\varphi (v)+\varphi (w)=\varphi (v^{\prime })+\varphi (w^{\prime })$$

allora $\varphi (v)$ è un invariante collisionale.

banalmente se si conserva dopo le collisioni, rimane costante.

Dim §

Applico la definizione, qualche cambio di variabile e simmetria del kernel d’interazione.

$$\int \varphi (v)Q[f]dv=\int \int \int \varphi (v)k(v\to v^{\prime }|w^{\prime })[f(v^{\prime })f(w^{\prime })-f(v)f(w)]dvdwdS$$

effettuo un cambio di variabili: $v\to w$, $w\to v$ , ovviamente il modulo dello Jacobbiano è 1

$$\iiint \varphi (w)k(w\to v^{\prime }|w^{\prime })[f(v^{\prime })f(w^{\prime })-f(w)f(v)]dvdwdS$$

Il kernel d’interazione è invariante per questo scambio! (per maxwell gas $k=\Vert v-w\Vert$ ), quindi ho la stessa espressione ma con $\varphi (w)$.

Ora effettuo lo scambio $v\to v^{\prime }$, $w\to w^{\prime }$, qui richiedo che sia Jacobbiano unitario, nel caso di Maxwell e Lorentz si fa vedere facilmente che è così.

$$\iiint \varphi (v)k(v\to v^{\prime }|w^{\prime })[f(w^{\prime })f(v^{\prime })-f(v)f(w)]d{v}^{\prime }d{w}^{\prime }dS$$

ora dobbiamo esprimere $v,w$ in funzione di $v^{\prime },w^{\prime }$. Segue dalla simmetria delle interazioni che rinominando le varibli di integrazioni, si ottiene:

$$-\iiint \varphi (v^{\prime })k(v\to v^{\prime }|w^{\prime })[f(v^{\prime })f(w^{\prime })-f(v)f(w)]dvdwdS$$

da questa cambio $v\to w$, quindi $v^{\prime }\to w^{\prime }$ ed ottengo:

$$-\iiint \varphi (w^{\prime })k(v\to v^{\prime }|w^{\prime })[f(v^{\prime })f(w^{\prime })-f(v)f(w)]dvdwdS$$

(il modulo dello Jacobbiano è sempre uno).

Sommo le 4 espressioni quivalenti e divido per 4, raccolgo:

$$\iiint \left[\varphi (v)+\varphi (w)-\varphi (v^{\prime })-\varphi (w^{\prime })\right]\left[f(v^{\prime })f(w^{\prime })-f(v)f(w)\right]dvdwdS$$

$\square$

Corollario §

Se consideriamo sfere dure, allora ogni invariante collisionale continuo è della forma:

$$\varphi (v)=a+b\cdot v+c\Vert v{\Vert }^2,a,b,c\in \mathbb{R}$$

Dim §

Siccome valgono conservazione del momento e dell’energia, la somma $\varphi (v)+\varphi (w)$ deve dipendere solo dalle quantità conservate:

$$\varphi (v)+\varphi (w)=\Phi (v+w,v^2+w^2)$$

ora introduciamo nuove funzioni:

$${\varphi }_{\pm }(v)=\varphi (v)\pm \varphi (-v)$$

notiamo come sia una funzione pari! e analogamente:

$${\Phi }_{\pm }(v+w,v^2+w^2)=\Phi (v+w,v^2+w^2)\pm \Phi (-v-w,v^2+w^2)$$

giocherellando si ottiene:

$${\varphi }_{\pm }(v)+{\varphi }_{\pm }(w)={\Phi }_{\pm }(v+w,v^2+w^2)$$

sfruttando la parià di ${\varphi }_{\pm }$ si ottiene:

$$2{\varphi }_{+}(v)={\Phi }_{+}(2v^2,0)$$

è funzione solo del quadrato. Quindi anche ${\varphi }_{+}$ è solo funzione del quadrato! Riscrivendo:

$$\psi (v^2)+\psi (v^2)={\Phi }_{+}(v^2+w^2)=\psi (v^2+w^2)+\psi (0)$$

quindi è lineare, richiedendo la continuità è della forma:

$$\psi (v)=c{v}^2+a$$

Consideriamo due vettori ortogonali, allora la per la parte negativa:

$${\varphi }_{-}(v)+{\varphi }_{-}(w)={\Phi }_{-}(v+w,0)={\varphi }_{-}(v+w)$$

l’ultima segue da ${\varphi }_{-}(0)=0$

Dati due vettori arbitrari, sia $\rho$ ortogonale ad tutti e due, allora se applica l’eq precedente…

Si conclude con $\varphi (v)=({\varphi }_{+}{\varphi }_{-})/2$ $\square$

Equilibrio §

Una distribuzione $f$ è detta di equilibrio se:

$$Q[f,f]dv=0$$

Proposizione §

Una distribuzione è di equilibrio se è l’esponenziale di un invariante collisionale della forma $\varphi (v)+\varphi (w)=\varphi (v^{\prime })+\varphi (w^{\prime })$

Dim §

Dalla definzione di operatore collisionale, se $f(v)f(w)=f(v^{\prime })f(w^{\prime })$ allora è un equilibrio. Passando ai logaritmi:

$$\log f(v)+\log f(w)=\log f(v^{\prime })+\log f(w^{\prime })$$

ovvero se $\log f$ è un’invariante collisionale della forma espressa sopra. $\square$

Oss §

Ovviamente vale per combinazioni lineari di invarianti collisionali.

La Maxwelliana §

$$f(v)={\mathcal{M}}_{\rho ,u,T}(v)=\frac{\rho }{(2\pi T{)}^{3/2}}{e}^{-\frac{\Vert v-u{\Vert }^2}{2T}}$$

Teorema H §

Sia $f(t,v,x)$ una funzione sufficientemente smooth e zero all’infinito, ed una soluzione dell’equazione di Boltzmann. Allora la quantita:

$$H(t):=\int f\log fdvdt$$

detta Entropia (c’è il segno menoooo) decande in tempo ed è zero se e solo se $f$ è una maxwelliana.

Oss §

$\log f$ è un invariante collisionale quando $f=\mathcal{M}$, quindi $\mathcal{M}$ è un equilibrio. (E’ exp di combinazione lin di invarianti…).

Dim §

Uso le stesse simmetrie/anti simmetrie usate per dimostrare il teorema degli invarianti collisionali, Ottengo:

$$\int \log fQ[f,f]dv=\frac{1}{4}\iiint k\left[f(v^{\prime })f(w^{\prime })-f(v)f(w)\right]\left[\log f(v)+\log f(w)-\log f(v^{\prime })-\log f(w^{\prime })\right]dvdwdS$$

raccogliendo $f(v^{\prime })f(w^{\prime })$ ed usando le proprietà dei logaritmi ottengo:

$$\iiint kf(v^{\prime })f(w^{\prime })\left(1-z\right)\left(\log z\right)dvdwdS$$

dove $z=\frac{f(v)f(w)}{f(v^{\prime })f(w^{\prime })}$. La funzione integranda è non positiva. $\square$

Equazioni di Eulero, limite idrodinamico §

Per ottenere equazioni macroscopiche, passo al valore atteso degli invarianti, considerando la Maxwelliana come equilibrio.

$${\partial }_t\int \varphi (v)fdv+\int \varphi (v)v\cdot {\nabla }_{x}fdv=\int \varphi (v)Q[f,f]dv=0$$

con $\varphi (v)=1$ otteniamo la conservazione di massa, ovvero l’equazione di continuità:

$${\partial }_t\rho +{\nabla }_x\cdot (u\rho )=0$$

con $\varphi (v)=v$ otteniamo

$${\partial }_t(u\rho )+{\partial }_x\left(\int v^{2}fdv\right)=0$$

con $f=\mathcal{M}$ si ottiene:

$${\partial }_t(u\rho )+{\partial }_x(u^2\rho +P)=0$$

con l’energia:

$$0+{\nabla }_x\cdot u=0$$