Finite volume Gibbs distributions §

Lavoriamo sui sistemi reticolari, ovvero in ${\mathbb{Z}}^d$.

Indichiamo un volume finito con $\Lambda ⋐{\mathbb{Z}}^d$.

L’ insieme degli stati microscopici di un sistema nel volume $\Lambda$ non è altro che un elemento dell’insieme

$$\omega \in {\Omega }_{\Lambda },{\Omega }_{\Lambda }:=\{-1,1{\}}^{|\Lambda |}$$

e sarà quindi della forma $\omega =({\omega }_i{)}_{i\in \Lambda }$. Torna utile identificare un volume $\Lambda$ con le coppie di siti adiacenti, specialmente nel caso di interazioni nearest neighbour.

$${\mathcal{E}}_{\Lambda }:=\{(i,j)\subset \Lambda |i\sim j\}$$

Per ogni volume finito $\Lambda$, l’energia della configurazione $\omega$ è determinata dall’hamiltoniana:

$${\mathcal{H}}_{\Lambda }:\omega \mapsto \mathbb{R}$$

Come per i sistemi continui, si definisce un’energia potenziale $U$ tramite un insieme di interazioni $({\Phi }_k(x){)}_{k\in 1,2,\dots }$, ovvero interazioni tra $k$ siti:

$$U(\Omega ):=\sum _{\xi \subset \Omega }{\Phi }_{|\xi |}(\xi )$$

Vediamo esplicitamente qualche modello e la relativa hamiltoniana.

Lattice Gas §

Ipotesi: ogni sito può essere occupato o meno da una sola particella, quindi c’è l’ipotesi di hard core. Inoltre la forza è attrattiva, ed a coppia:

Chiamiamo ${\Phi }_2(i,j)$ con $K(i,j)$.

1. essendo attrattiva è negativa, la definiamo positiva: $-K(i,j)\le 0$
2. a lungo raggio la forza descresce: $K(i,k)\to 0$ quando $\Vert i-j{\Vert }_{\infty }\to 0$.
3. invariante per traslazioni

$$K(i,j)=K(i+a,j+a)\forall a\in {\mathbb{Z}}^d$$

questo implica, traslando per l’opposto di uno dei due siti:

$$K(i,j)=K(0,j-i)⟹K(i-j)$$

ovvero che è funzione della differenza.

L’energia d’interazione totale è quindi:

$$U=-\sum _{(i,j)\subset \Lambda }K(i,j)$$

Costruiamo un tipico potenziale d’interazione.

Indichiamo il numero di occupazione della cella $i$ con ${\eta }_i$. Per l’ipotesi di prima, nel nostro modello sarà ${\eta }_i=0,1$. E’ lo stato del sistema.

L’energia del sistema sarà quella dovuta alle interazioni dei siti occupati:

$$\mathcal{H}(\eta ):=-\sum _{(i,j)\subset \Lambda }K(i,j){\eta }_i{\eta }_j$$

Aggiungiamo una richiesta sul potenziale d’interazione: che sia sommabile che è equivalente a dire che l’interazione con una particella ed il resto del sistema è limitata:

$$\underset{i\in {\mathbb{Z}}^d}{\sup }\left\{\sum _{j\ne i}K(i,j)\right\}=\sum _{i\ne 0}K(0,i)=\kappa <\infty$$

come conseguenza dell’invarianza per traslazioni. Il numero totale di particelle nella regione sarà:

$$N(\Lambda ):=\sum _{i\in \Lambda }{\eta }_i$$

e la densità empirica

$${\rho }_{\Lambda }:=\frac{N(\Lambda )}{|\Lambda |}$$

Data l’Hamiltoniana, possiamo definire le distribuzioni Canonica e Gran canonica.

Esistenza dell’energia libera §

Definiamo una sequenza di volumi finiti che converge a ${\mathbb{Z}}^d$. Diciamo che ${\Lambda }_n\uparrow {\mathbb{Z}}^d$ se:

1. ${\Lambda }_n\subset {\Lambda }_{n+1}$
2. $\bigcup {\Lambda }_n={\mathbb{Z}}^d$

Torna utile, per trascurare le condizioni di bordo, richiedere una cosa aggiuntiva:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{|\partial {\Lambda }_n|}{|{\Lambda }_n|}=0$$

dove il bordo è alla solita maniera. Diciamo che ${\Lambda }_n\Uparrow {\mathbb{Z}}^d$ nel senso di Van Hove.

Una sequenza semplice che soddisfa tutti questi requisiti è quella dei cubi:

$$B(n)=\{-n,\dots ,n{\}}^d$$

Teorema §

Sia ${\Lambda }_n\Uparrow {\mathbb{Z}}^d$ una sequenza di parallelepipedi. Sia $\rho \in [0,1]$ ed $N_n\in \mathbb{N}$ tale che $\frac{N_n}{|{\Lambda }_n|}\to \rho$. Il limite

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_{{\Lambda }_n;\beta }(\rho )=f_{\beta }(\rho )$$

esiste, non dipende dalla scelta delle sequenza ${\Lambda }_n$ e $N_n$. Inoltre la convergenza è uniforme nei sottoinsiemi compatti di $(0,1)$ e $\rho \mapsto f_{\beta }(\rho )$ è convessa e continua.

Lemma convessità §

Siano ${\Lambda }_1,{\Lambda }_2$ due sottoinsiemi disgiunti ${\Lambda }_1,{\Lambda }_2⋐{\mathbb{Z}}^d$. Se $N_1\le |{\Lambda }_1|$ e $N_2\le |{\Lambda }_2|$ Allora

$$Z_{{\Lambda }_1\cup {\Lambda }_2;\beta ;N_1+N_2}\ge Z_{{\Lambda }_1;\beta ;N_1}+Z_{{\Lambda }_2;\beta ;N_2}$$

Proof §

$$\sum _{\eta }{e}^{\beta {\sum }_{(i,j)\subset \Lambda }K(i,j)}\frac{1}{N!}$$

dove l’insieme delle configurazioni è della forma $\eta \in \{0,1{\}}^{\Lambda }$ con la condizione che $N=\sum {\eta }_i$.

E’ evidente che limitandoci alle configurazioni ${\eta }^{\prime }$ tali che hanno $N_1$ particelle in ${\Lambda }_1$ e $N_2$ in ${\Lambda }_2$. Ottengo una quantità inferiore (sto sommando su meno stati, sempre quantità positive). Il fattore combinatorio diventa $\frac{N!}{N_1!N_2!}$.

Separiamo la somma nell’esponente:

$$\sum _{{\eta }^{\prime }}{e}^{\beta {\sum }_{(i,j)\subset {\Lambda }_1}K(i,j)+\beta {\sum }_{(i,j)\subset {\Lambda }_2}K(i,j)+{\sum }_{i\in {\Lambda }_{1}j\in {\Lambda }_2}\beta K(i,j)}\frac{1}{N_1!N_2!}$$

Essendo $K(i,j)\ge 0$ possiamo trascuare il termine di interazione tra le regioni e fattorizzare per ottenere il risultato. $\square$

Lemma “continuità” §

Una sorta di continuità della funzione di partizione rispetto al numero di particelle (i.e. incrementando le particelle di uno la funzione non cambia troppo).

Sia $\Lambda ⋐{\mathbb{Z}}^d$ e $N\in \{0,1,\dots ,|\Lambda |-1\}$. Allora:

$$\frac{|\Lambda |-N}{N+1}{Z}_{\Lambda ;\beta ;N}\le Z_{\Lambda ;\beta ;N+1}\le e^{\beta \kappa }\frac{|\Lambda |-N}{N+1}{Z}_{\Lambda ;\beta ;N}$$

Proof §

Possiamo vedere le configurazioni con $N+1$ particelle come tutte quelle da $N$ particelle a cui poi aggiuniamo un’altra in un sito libero.

$$\frac{1}{(N+1)!}\sum _{\eta \in \{0,1{\}}^{\Lambda };N(\eta )=N+1}{e}^{-\beta {\mathcal{H}}_K(\eta )}=\frac{1}{N+1}\frac{1}{N!}\sum _{\eta \in \{0,1{\}}^{\Lambda };N(\eta )=N}\sum _{{\eta }^{\prime }\ge \eta ;N({\eta }^{\prime })=N+1}{e}^{-\beta {\mathcal{H}}_K({\eta }^{\prime })}$$

è chiaro che $\mathcal{H}({\eta }^{\prime })\le \mathcal{H}(\eta )$, inoltre vale:

$$\mathcal{H}({\eta }^{\prime })=\mathcal{H}(\eta )-k$$

dove $k$ è l’energia dovuta alla nuova particella con quelle già presenti in $\eta$. Sicuramente vale $k\le \kappa$, quindi

$$\mathcal{H}({\eta }^{\prime })\ge \mathcal{H}(\eta )-\kappa$$

Con queste disuguaglianze, e condiserando che ci sono $|\Lambda |-N$ termini nelle somma otteniamo il lemma. $\square$

Proof del limite §

1. esistenza del limite per sequenze particolari di particelle Consideriamo la sequenza $N_n=\lceil \rho |{\Lambda }_n|\rceil$ (il ceil). I casi limite $\rho =0$ e $\rho =1$ possono essere calcolati esplicitamente:

$$f_{\beta }(0)=0f_{\beta }(1)=-\frac{\kappa }{2}$$

per i valori intermedi, scriviamo il lemma della continuità come:

$$c^{-1}{Z}_{\Lambda ;N}\le Z_{\Lambda ;N+1}\le c{Z}_{\Lambda ;N}$$

per un qualche $c>1$. Sia $\rho \in (0,1)$. Per tutti i ${\Lambda }_1,{\Lambda }_2$ disgiunti e con ${\Lambda }_1\cup {\Lambda }_2=\Lambda$ abbiamo che $\lceil \rho |\Lambda |\rceil \ge \rho |{\Lambda }_1|+\rho |{\Lambda }_2|\ge \lceil \rho |{\Lambda }_1|\rceil +\lceil \rho |{\Lambda }_2|\rceil -2$, ovvero $N\ge N_1+N_2-2$. Usando due volte verso il basso la precedente disequazione otteniamo:

$$Z_{\Lambda ;\lceil \rho |\Lambda |\rceil }\ge c^{-2}{Z}_{\Lambda ;\lceil \rho |\Lambda |\rceil -2}$$

adesso consideriamo due volumi disgiunti ${\Lambda }_1,{\Lambda }_2$ con un relativo numero di particelle $N_1=\lceil \rho |{\Lambda }_1|\rceil$ e $N_2=\lceil \rho |{\Lambda }_2|\rceil$. Vale quindi:

$$Z_{\Lambda ;N}\ge c^{-2}{Z}_{{\Lambda }_1;N_1}{Z}_{{\Lambda }_2;N_2}$$

di conseguenza, passando al logaritmo abbiamo una proprietà di subadditività della funzione:

$$a(\Lambda ):=-\log (c^{-2}{Z}_{\Lambda ;\lceil \rho |\Lambda |\rceil })$$

Inoltre, come conseguenza dell’invarianza per traslazione del potenziale di interazione $K$, è anche invariante per traslazione. Possiamo quindi applicare il teorema Limite di successioni subadditive:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a({\Lambda }_n)}{|{\Lambda }_n|}=\underset{n}{\inf }\frac{a({\Lambda }_n)}{|{\Lambda }_n|}$$

quindi esiste l’energia libera, almeno per successioni di $N_n=\lceil \rho |{\Lambda }_n|\rceil$, e con ${\Lambda }_n$ parallelepipedi.

Una conseguenza dell’esistenza, è anche il seguente upper-bound, che segue dal fatto che il limite è pari all’inf:

$$Z_{\Lambda ,\lceil \rho |\Lambda |\rceil }\le c^2{e}^{-\beta f(\rho )|\Lambda |}$$

2. esistenza del limite per sequenze generiche di particelle Assumiamo ora di avere una generica sequenza $N_n$ tale che $\frac{N_n}{|{\Lambda }_n|}\to \rho$. Facciamo vedere che l’errore che si commette è trascurabile nel limite. Applicando la disuguaglianza un numero necessario di volte $|N_n-\lceil \rho |\Lambda |\rceil |$:

$$c^{-|N_n-\lceil \rho |\Lambda |\rceil |}{Z}_{\Lambda ,\lceil \rho |\Lambda |\rceil }\le Z_{\Lambda ;N_n}\le c^{|N_n-\lceil \rho |\Lambda |\rceil |}{Z}_{\Lambda ,\lceil \rho |\Lambda |\rceil }$$

siccome $N_n-\lceil \rho |{\Lambda }_n|\rceil \to 0$, il limite coincide con quello del caso precedente, questo conclude la dimostrazione. $\square$ 3. convergenza uniforme sui compatti di $(0,1)$ Per dimostrare la convergenza uniforme sui compatti di $(0,1)$, sia $I=[a,b]\subset (0,1)$ usiamo la disuguaglianza di continuità con densità in $I$

$$\left|f_{\Lambda \beta }\left(\frac{N+1}{|\Lambda |}\right)-f_{\Lambda \beta }\left(\frac{N}{|\Lambda |}\right)\right|\le \frac{1}{|\Lambda |}\underset{\rho \in I}{\sup }\left\{\kappa +\beta \log \left(\frac{1-\rho }{\rho }\right)\right\}$$

quindi possiamo effettuare un bound uniforme, che con la convergenza puntuale implica la convergenza uniforme, quindi continuità della funzione limite (vedi Lipshitz continuità) . $\square$

La convessità segue dalla quasi convessità e della continuità della funzione limite. $\square$

NON VA QUA