Weak deriative

Esistono soluzioni di PDE come linear advection non differenziabili, basta considerare una condizione iniziale discontinua. Quindi non essendo derivabili, non possono soffisfare l’equazione differenziale, tuttavia in un certo senso sono soluzioni. Formalizziamo questo fatto grazie alle funzioni test, ovvero fuzioni smooth a supporto compatto.

Intuitivamente, le funzioni test definiscono una misura locale di una quantità tramite un integrale. Quindi sia $\psi \in C_{cpt}^{\infty }(\mathbb{R})$ ed $u\in C^1(\mathbb{R})$, integrando per parti otteniamo l’equivalenza

$$\int u^{\prime }\psi dx=\psi u{|}_{-\infty }^{+\infty }-\int u{\psi }^{\prime }dx$$

il termine di bordo è nullo dato che la funzione test è a supporto compatto. Abbiamo scaricato la derivata sulla funzione test (che è smooth). Siamo portati a definire una derivata in senso debole, anche per funzioni non derivabili.

Definizione §

Per prima cosa ci restringiamo alle funzioni localmente integrabili (su un compatto) $L_{loc}^1(\Omega )$ con $\Omega \subseteq {\mathbb{R}}^n$. Definiamo la derivata in senso debole $f$ di una funzione $u\in L_{loc}^1$ se vale per ogni funzione test $\psi$ l’equivalenza:

$${\int }_{\Omega }f\psi dx=-{\int }_{\Omega }u{\psi }^{\prime }dx$$

Si estende alla derivata n-esima integrando più volte per parti, questo fa oscillare il segno. Notazione: $D^{\alpha }f$ con $\alpha ={\alpha }_1,\dots {\alpha }_n$ interi non negativi, l’ordine $|\alpha |:=a_1+\dots a_n$.

$${\int }_{\Omega }(D^{\alpha }u)\psi d^{n}x=(-1{)}^{|\alpha |}{\int }_{\Omega }u(D^{\alpha }\psi )d^{n}x$$

per tutte le funzioni test $\psi \in C_{cpt}^{\infty }(\Omega )$.

Oss §

fortunatamente se la funzione è derivabile la derivata debole coincide con quella classica (soddisfa l’equivalenza banalmente perchè vale l’integrale per parti).

Oss §

è ben definitia? Ovvero è unica? Sì, basta far vedere che se l’integrale è nullo la funzione è nulla (come per $L^2$ è necessaria la relazione di equivalenza $q.o.$ ).