Continuità della misura

Sia $(A_{n})_{n \geq 1} \subset F$ una successione monotona non decrescente di insiemi misurabili. Allora:

μ (\cup_{n} A_{n}) = n \to \infty lim μ (A_{n})

Sia $(A_{n})_{n \geq 1} \subset F$ una successione monotona non crescente di insiemi misurabili. Allora:

μ (\cap_{n} A_{n}) = n \to \infty lim μ (A_{n})

Uso la $σ$ -additività per insiemi disgiunti, definendo la successione:

B_{n + 1} := A_{n + 1} ∖ A_{n} B_{1} = A_{1}

Ovviamente $\cup B_{n} = \cup A_{n}$ . Quindi:

μ (\cup_{n} A_{n}) = μ (\cup_{n} B_{n}) = n \sum μ (B_{n}) = μ (A_{1}) + n = 1 \sum μ (A_{n + 1} ∖ A_{n})

siccome $A \subseteq B$ implica che $μ (B ∖ A) = μ (B) - μ (A)$ , otteniamo una serie telescopica:

μ (A_{1}) + k \to \infty lim n = 1 \sum k μ (A_{n + 1}) - μ (A_{n}) = k \to \infty lim μ (A_{k})

Si ragiona in maniera analoga per una successione d’insiemi non crescente. $□$

Lorenzo Gregoris