Teorema convegenza dominata

Teorema della convergenza dominata §

Sia $f_n,f$ funzioni misurabili tali che $f_n\to f$ puntualmente in un insieme $S$, e la successione sia dominata da una funzione integrabile (finito) $g$ non negativa:

$$|f_n(s)|\le g(s)\forall s\in S,\forall n\in \mathbb{N}$$

allora $f_n\to f$ in ${\mathcal{L}}^1$, ovvero $\mu (|f_n-f|)\to 0$, quindi $I(f_n)\to I(f)$.

Dim §

Segue dal lemma di Fatou per integrali inverso, per applicarlo ho bisogno di una successione di funzioni non negative e limitata superiormente da una funzione integrabile (in ${\mathcal{L}}^1$). Applico Fatou alla successione non negativa $|f_n-f|\le 2g$:

$$\underset{n}{\lim }\mu (|f_n-f|)\le \underset{n}{\mathrm{limsup}}\mu (|f_n-f|)\le \mu (\underset{n}{\mathrm{limsup}}|f_n-f|)=\mu (0)=0$$

siccome $f_n\to f$. Inoltre:

$$\mu (|f_n-f|)\ge |\mu (f_n-f)|=|\mu (f_n)-\mu (f)|$$

quindi $\mu (f_n)\to \mu (f)$. $\square$