Spazio metrico

Uno spazio metrico $(X,d)$ è un insieme $X$ ed una distanza $d:X\times X\mapsto [0,\infty )$. Vediamo le condizioni che una distanza deve rispettare:

Definizione §

Una funzione $d:X\times X\mapsto [0,\infty )$ si dice distanza se $\forall x,\forall y,\forall z\in X$:

1. $d(x,y)=d(y,x)$ simmetrica
2. $d(x,y)=0$ se e solo se $x=y$
3. $d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)$ disugualianza triangolare

Esempi di metriche §

La metrica euclidea in ${\mathbb{R}}^n$:

$$d(x,y)=\sqrt{\sum _i^n(x_i-y_i{)}^2}$$

che per $\mathbb{R}$ è semplicemente il modulo.

Data una biezione tra due insiemi, uno eredita la metrica dell’altro. Ed esempio metrica finita per $\mathbb{R}$, parto dal dominio della tangente $[-\pi /2,\pi /2]$ con metrica euclidea. Quindi per tutti i reali ottengo una distanza finita:

$$d(x,y)=|\arctan (x)-\arctan (y)|$$

$diam(\mathbb{R})=\pi$ con questa distanza!

Spazio metrico completo §

Uno spazio metrico si dice completo se tutte le successioni di Cauchy convergono ad un elemento dello spazio.