Cono tangente §

Def §

L’insieme cono tangente nel punto $\overline{x}$ dell’insieme chiuso $C\subseteq {\mathbb{R}}^n$ è:

$$T_C(\overline{x}):=\left\{d\in {\mathbb{R}}^n|\exists \{x^k\}\to \overline{x},\exists \{{\tau }^k\}\to 0\text{ t.c }\underset{k\to \infty }{\lim }\frac{x^k-\overline{x}}{{\tau }^k}=d\right\}$$

E’ evidente che questo insieme è un Cono.

Direzioni ammissibili §

Def §

Dato un punto $\overline{x}\in C$, la direzione $d$ è detta ammissibile se:

$$\overline{x}+\lambda d\in C,\forall \lambda \in [0,\overline{\lambda }]$$

ovvero esiste un segmente che parte dal punto tutto contenuto nell’insieme $C$.

Oss §

è ovvio che se $d$ è una direzione ammissibile allora $d\in T_C(\overline{x})$.

Dim §

Una successione di punti sul segmento che converge a $\overline{x}$ funziona per il cono tangente.

Oss §

Ovviamente il cono tangente è più grande, si pendi ad una circonferenza: in ogni suo punto non ha direzioni ammissibili, ma il cono tangente è la retta tangente alla circonferenza.