Motivazione storica

Famiglie aristocratiche nel periodo vittoriano erano preoccupate che il loro nome diventasse estinto, Sir Francis Galton pose la seguente domanda:

How many male children (on average) must each generation of a family have in order for the family name to continue in perpetuity?

La risposta venne dal reverendo Henry William Watson nell’articolo On the probability of extinction of families (1874).

Watson propose il seguente modello:

1. popolazione con un individuo al tempo zero: $n=0$, $Z_0=1$.
2. al tempo $n=1$ l’individuo produce $Z_1$ copie e muore, $Z_1$ è una variabile aleatoria in ${\mathbb{N}}_0$.
3. ad ogni step successivo ciascuno degli individui produce un numero di figli, la distribuzione offspring distribution è assunta sempre la stessa. Ne segue che al tempo $n+1$ il numero di individui $Z_{n+1}$ sia:

$$Z_{n+1}=\sum _{k=1}^{Z_n}{Z}_{n,k}$$

Definiamo questo processo stocastico un branching process.

E’ chiaro che tutta l’evoluzione è determinata dalla offspring distribution, la domanda di Galton diventa:

Quali condizioni deve soddisfare la offspring distribution affinchè non avviene un’estinzione:

\mathbb{P}( Z_n \geq 1 \forall n \in \mathbb{N}_0) = 1

$$laprobabilit\grave{a}diaverezeroindividuisiazero.$$