Teorema di Weierstrass §

Sia dato un problema di minimo $MIN(C,f)$, con l’insieme ammissibile $C$ compatto ed $f$ continua. Allora l’insieme della soluzioni $SOL(C,f)$ del problerma è non vuoto e compatto.

Come preliminare, ricordiamo che per L’Assioma di Dedekind ogni sottoinsieme non vuoto limitato inferiormente ammette un estremo inferiore. Se supponiamo di usare la retta estesa, allora non dobbiamo preoccuparci che sia limitato inferiormente: se siamo in questo caso, l’estremo inferiore è $-\infty$.

Inoltre uno spazio metrico è compatto se e solo se è sequenzialmente compatto (data ogni successione si può estrarre una convergente).

Per le proprietà di estremo inferiore (il massimo dei minoranti) posso sempre costruire una successione di punti in $C$ che converge all’estremo inferiore:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }f(x_n)=\underset{x\in C}{\inf }f(x)$$

Per Dedekind, eisiste l’estremo inferiore, chiamiamolo $\overline{f}$.

Dim §

Facciamo vedere che è non vuoto. Poniamo $\overline{f}=in{f}_{x\in C}f(x)$, l’estremo inferiore di $f$. Esiste una successione di punti in $C$ tale che:

$$\underset{k\to \infty }{\lim }f(x_k)=\overline{f}$$

Siccome $C$ è compatto, è sequenzialmente compatto, quindi esiste una sottosuccessione convergente ad un punto $\overline{x}\in C$, e per continuità:

$$\underset{k\to \infty }{\lim }f(x_k)=f(\overline{x})=\overline{f}$$

che è quindi soluzione ottima $\overline{x}\in SOL(C,f)$. La compattezza segue banalmente dal fatto che un sottoinsieme chiuso di un compatto è compatto, infatti $SOL(C,f)\subseteq C$. $\square$ (la chiusura segue dalla [[Esistenza delle soluzioni ottime#Esistenza delle soluzioni ottime#Proposizione 1|Proposizione 1]]).