Shock and Rankine-Hugoniot theorem

Nel caso dell’equazione del trasporto non lineare, le curve caratteristiche possono intersecarsi: si formano delle discontinuità, e la soluzione va assunta in senso debole.

I punti di intersezione venogno detti di shock.

Teorema Rankine-Hugoniot §

Utile per trovare la curva dello shock, come si evolve.

Sia $u$ una soluzione debole di:

$$u_t+q(u{)}_x=0$$

della forma:

$$u(t,x)=\{\begin{array}{l}{u}_{-}(t,x)x<\sigma (t)\\ u_{+}(t,x)x>\sigma (t)\end{array}$$

con $u_{-}$ e $u_{+}$ soluzioni classiche. Sia la curva $C$ parametrizzata da $\sigma \in C^1([0,\infty )])$. Allora lungo la curva $C$ vale la seguente relazione:

$$q(u_{+})-q(u_{-})=(u_{+}-u_{-}){\sigma }^{\prime }$$

ci dice come si raccordano le due soluzioni classiche, il salto.

Dim §

parto dall’equazione integrale che risolve una soluzione debole, divido l’integrale nelle due soluzioni classiche e torno indietro (posso calcolare le derivate classiche).