Convergenza di successioni di funzioni §

Convergenza puntuale q.o §

Diciamo che si ha convergenza quasi ovunque $f_n\to f$ q.o. Se si ha convergenza puntuale a meno di insiemi di misura nulla, ovvero $\forall x\in E$ con $\mu (E^c)=0$ si ha:

$$\forall ϵ>0,\forall x\in E,\exists N\text{ t.c. }|f_n(x)-f|<ϵ\forall n\ge N$$

Convergenza in misura §

Diamo che la successione $f_n\stackrel{\mu }{\to }f$ converge in misura se:

$$\underset{n}{\lim }\mu (|f_n-f|>ϵ)=0$$

Convergenza puntuale implica convergenza in misura §

Definiamo gli insiemi:

$$R_n:=\{x\in \Omega ||f_n(x)-f(x)|>ϵ\}$$

quindi la definizione di convergenza in misura può essere scritta come:

$$\underset{n}{\lim }\mu (R_n)=0$$

Consideriamo il $\mathrm{limsup}$ di questa successione:

$$R:=\underset{n}{\mathrm{limsup}}{R}_n$$

e dal Lemma di Fatou inverso

$$\mu (\underset{n}{\mathrm{limsup}}{R}_n)\ge \underset{n}{\mathrm{limsup}}\mu (R_n)$$

l’osservazione chiave è $E\cap R=\varnothing$, ovvero se un punto appartiene all’insieme dove abbiamo convergenza puntuale, non può essere nel limsup, infatti $x\in R$ significa che per ogni $n$ esiste un $m\ge n$ tale che $|f_m(x)-f(x)|>ϵ$, quindi $x\notin E$. Quindi $R\subseteq E^c$, e per monotonia della misura (assumiamo sia completa) $\mu (R)=0$, quindi:

$$0\ge \underset{n}{\mathrm{limsup}}\mu (R_n)=\underset{n}{\mathrm{limsup}}\mu (|f_n-f|>ϵ)\square$$

il limsup è infinitamente spesso i.o., ovvero avrò sempre degli m tali che ho l’evento $|f_m(x)-f(x)|>ϵ$

Il vicevera non vale: §

Controesempio

Definiamo una successione che fa avanti e dietro:

$$f_{nk}(x)=1_{\left[\frac{k}{2^n},\frac{k+1}{2^n}\right]}(x)0\le k\le n$$

Oss possiamo estrerre una sottosuccessione che convergente anche quasi ovunque, basta prendere $f_{n}0$. Questa cosa è vera in generale. Convergenza in misura implica l’esistenza di una sottosuccessione estratta convergente quasi ovunque.

Convergenza in Norma-p §

Diciamo che $f_n\stackrel{\Vert \cdot {\Vert }^p}{\to }f$ se la differenza della norma $p$ tende a zero:

$$\underset{n}{\lim }\Vert f_n-f{\Vert }_p={\left(\int |f_n-f{|}^{p}d\mu \right)}^{\frac{1}{p}}=0$$

Convergenza in norma implica convergenza in misura §

Si sfrutta la monotonia delle norme $p$:

$$\Vert f_n-f{\Vert }_p\ge \Vert f_n-f{\Vert }_1={\int }_{\Omega }|f_n-f|d\mu$$

ora partizioniamo $\Omega$ con gli insieme di reso usati prima:

$$R_n:=\{x\in \Omega ||f_n(x)-f(x)|>ϵ\}\underset{n}{\lim }\mu (|f_n-f|>ϵ)=\underset{n}{\lim }\mu (R_n)$$

Quindi in questi insiemi possiamo minorare la funzione integranda con $ϵ$, e per monotonia dell’integrale di Lebesgue:

$${\int }_{\Omega }|f_n-f|d\mu \ge {\int }_{\Omega \setminus R_n}|f_n-f|d\mu +ϵ\mu (R_n)\ge ϵ\mu (R_n)\forall ϵ>0$$

Passando al limite ottengo la tesi. $\square$