Lemma Doob Dynkin §

Lo enuncio con solo uno spazio Borel misurabile.

Sia $(\Omega ,\sigma (T))$ uno spazio misurabile, dove la sigma algebra è indotta da una funzione $T:\Omega \mapsto \mathbb{R}$. (lavoriamo con la sigma algebra di Borel). Allora per una funzione $X:\Omega \mapsto \mathbb{R}$ vale:

$$X\sigma (T)\text{-misurabile}⟺X=f\circ T$$

con $f:\mathbb{R}\mapsto \mathbb{R}$ Borel-misurabile.

Dim §

1. ($⟸$) è banale, infatti composizione di funzioni misurabili è misurabile.

2. ($⟹$) Limitiamoci al caso $X$ funzione indicatrice. Quindi $X=1_A(\omega )$, con $A\in \sigma (T)$ siccome stiamo supponendo $X$ $\sigma (T)$-misurabile. Ci basta scegliere $f=1_{I{M}_T(A)}(x)$, ovvero la funzione caratteristica dell’immagine di $T$ dell’insieme $A$. Naturalmente $IM(A)\in Borel$.

3. Per linearità, si estende al caso di funzione semplice.

4. Per $X$ generica funzione misurabile, basta trovare una successione di funzioni semplici $f_n\uparrow f$:

$$f_n=g_n\circ Tf=g\circ T$$

avendo definito $g={\mathrm{limsup}}_n{g}_n$, che rimane ancora misurabile. $\square$