Lemma di Dynkin

Lemma di Dynkin §

Anche chiamato delle classi monotone, mostra come Sia $\mathcal{I}$ un $\pi$ sistema su $S$ contenente $S$. Allora:

$$d(\mathcal{I})=\sigma (\mathcal{I})$$

dove con $d(\mathcal{I})$ si intende il $d$ sistema generato dal $\pi$ sistema $\mathcal{I}$. Dim Per l’osservazione precedente, basta dimostrare che $d(\mathcal{I})$ è un $\pi$-sistema. Infatti se è anche chiuso per intersezioni finite, è una $\sigma$ algebra, ed è la più piccola perchè $d(\mathcal{I})\subseteq \sigma (\mathcal{I})$.

1. Sia ${\mathcal{D}}_1:=\{B\in d(\mathcal{I}):B\cap C\in d(\mathcal{I}),\forall C\in \mathcal{I}\}$ ovvero tutti gli insiemi del $\lambda$ sistema che intersecati con i membri del $\pi$ sistema rimangono nel $\lambda$ sistema. Siccome $\mathcal{I}$ è un $\pi$ sistema, $\mathcal{I}\subseteq {\mathcal{D}}_1$ . Facciamo vedere come ${\mathcal{D}}_1\subseteq d(\mathcal{I})$ erediti la struttra di $d$-sistema:

• $S\in {\mathcal{D}}_1$, infatti $S\in \mathcal{I}$ e $S\cap C=C$ $\forall C$, essendo l’identità.
• Siano $B_1,B_2\in {\mathcal{D}}_1$ con $B_1\subseteq B_2$, vale la chisura per differenza:

$$(B_2\setminus B_1)\cap C=(B_2\cap C)\setminus (B_1\cap C)\forall C\in \mathcal{I}$$

ma $(B_1\cap C)$ e $(B_2\cap C)$ sono dentro al $d$-sistema, quindi anche la loro differenza lo è (ovviamente continua a valere l’inclusione), quindi $B_2\setminus B_1\in {\mathcal{D}}_1$.

• Sia $(B_n{)}_{n\ge 1}\subseteq {\mathcal{D}}_1$ e $B_n\uparrow B$ , allora per $C\in \mathcal{I}$:

$$(B_n\cap C)\uparrow (B\cap C)$$

in quanto il limite è l’unione, che fattorizza con le intersezioni. Quindi $(B_n\cap C)\in d(\mathcal{I})$ e $B\in {\mathcal{D}}_1$. Abbiamo dimostrato che ${\mathcal{D}}_1$ è un $d$-sistema che contiene $\mathcal{I}$, quindi $d(\mathcal{I})\subseteq {\mathcal{D}}_1$, ma per costruzione ${\mathcal{D}}_1\subseteq d(\mathcal{I})$, quindi è proprio lui. 2. Sia ${\mathcal{D}}_2:=\{B\in d(\mathcal{I}):B\cap A\in d(\mathcal{I}),\forall A\in d(\mathcal{I})\}$, ovviamente vale ${\mathcal{D}}_2\subseteq {\mathcal{D}}_1$, e per come è definito è un $\pi$ sistema. Vogliamo far vedere che $\mathcal{I}\subseteq {\mathcal{D}}_2$ e che eredita la struttra di $d$-sistema.

• $\mathcal{I}\subseteq {\mathcal{D}}_2$ significa che se prendo $i\in \mathcal{I}$ ed un generico $B\in d(\mathcal{I})$, allora $i\cap B$ rimane in $d(\mathcal{I})$, ma i $B\in d(\mathcal{I})$ che godono di questa proprietà sono proprio gli elementi di ${\mathcal{D}}_1$ e siccome ${\mathcal{D}}_2\subseteq {\mathcal{D}}_1$, vale anche nel nostro nuovo insieme. Posso dimostrare che eredita l’essere un $d$-sistema come ho fatto per ${\mathcal{D}}_1$, segue che ${\mathcal{D}}_2=d(\mathcal{I})$ che per costruzione è anche un $\pi$ sistema. Quindi è una sigma algebra, contiene $\mathcal{I}$, il fatto che sia la più piccola segue dalla banale inclusione $d(A)\subseteq \sigma (A)$. $\square$