Misura

Misura §

Aggiungiamo ad una Misura esterna la cosa fondamentale, ovvero la richiesta intuitiva che la misura deve essere uguale alla misura delle parti (anche numebrabili), la sigma additività. Purtroppo ciò causa oggetti patologici nell’insieme delle parti di $\mathbb{R}$ Insieme di Vitali, ci limitamo a definirla su una sigma algebra Sigma algebra.

Def (measure) Una funzione $m:S\to [0,+\infty ]$ dove $S\subseteq 2^E$ è una $\sigma$-algebra.

1. $m(\varnothing )=0$
2. $\sigma$-additività:

$$A=\bigcup _{n\in \mathbb{N}}{A}_n{A}_n\bigcap A_m=\varnothing \forall n\ne m⟹m(A)=\sum _{n=0}^{\infty }m(A_n)$$