Limit of sets §

Liminf & limsup §

Sia $(A_n{)}_{n\ge 1}$ una sequenza di sottoinsiemi di un insieme di partenza $X$.

Diciamo che ${\lim }_{n\to \infty }{A}_n=A$, ovvero la sequenza converge all’insieme limite $A$ se i seguenti insiemi coincidono (e fanno $A$):

$$\underset{n}{\mathrm{liminf}}{A}_n:=\bigcup _{n\ge 1}\bigcap _{m\ge n}{A}_m\underset{n}{\mathrm{limsup}}{A}_n:=\bigcap _{n\ge 1}\bigcup _{m\ge n}{A}_m$$

intuizione dietro alle definizioni: We sometimes write $\{A_n\text{ infinitely often}\}$ as an alternative for $\mathrm{limsup}{A}_n$, because $\omega \in \mathrm{limsup}{A}_n$ if and only if $\omega \in A_n$ for infinitely many $n$. Similarly, we write $\{A_n\text{ eventually }\}$ for $\mathrm{liminf}{A}_n$. The abbreviations i.o. and ev. are often used.

In maniera equivalente, si può definire tramite limite di funzioni caratteristiche dell’insieme, quindi passare ad $\mathbb{R}$ ed usare la nozione di liminf e limsup qui:

$$\underset{n}{\mathrm{limsup}}{A}_n:=\{x\in X|\underset{n}{\mathrm{limsup}}{1}_{A_n}(x)=1\}$$ $$\underset{n}{\mathrm{liminf}}{A}_n:=\{x\in X|\underset{n}{\mathrm{liminf}}{1}_{A_n}(x)=1\}$$

To put it another way, the limit infimum consists of elements that “eventually stay forever” (are in each set after some n), while the limit supremum consists of elements that “never leave forever” (are in some set after each $n$). Or more formally:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{A}_n=A⟺$$ $$\forall x\in A\exists N|\forall n\ge Nx\in A_n$$ $$\forall y\notin A\exists N|\forall n\ge Ny\notin A_n$$

Equivalenza delle definizioni §

${\mathrm{liminf}}_n{1}_{A_n}(x)=1$ se e solo se la successione $A_n(x)$ vale $0$ un numero finito di volte:

$$\exists N|\forall m\ge N{A}_m(x)=1$$

In maniera equivalente:

$$x\in {\cup }_n{\cap }_{m\ge n}{A}_n⟺\exists N|x\in A_m\forall m\ge N$$

che è quivalente a dire $x\notin A_n$ per un numero finito di insiemi.

Quindi $x\in {\mathrm{liminf}}_n{A}_n$ se e solo se $x\in A_n$ a meno di un numero finito di insiemi.

In maniera analoga, ${\mathrm{limsup}}_n{A}_n=0$ se e solo se la successione $A_n(x)$ vale $1$ un numero finito di volta, che è quivalente a dire:

$$\exists N|\forall m\ge N{A}_m(x)=0$$

In maniera equivalente:

$$x\in {\cap }_n{\cup }_{m\ge n}{A}_n⟺\forall n\exists m\ge n|x\in A_m$$

negando:

$$x\notin {\cap }_n{\cup }_{m\ge n}{A}_n⟺\exists N|\forall m\ge Nx\notin A_m$$

che è quivalente alla condizione data con la funzione caratteristica.

Sequenze monotone §

Come per sequenze reali, se le successioni sono monotone, il limite esiste. Sia la sequenza $(A_n{)}_{n\ge 1}$ non descrescente: $A_n\subseteq A_{n+1}$ per ogni $n$, allora:

$$\underset{n}{\mathrm{limsup}}{A}_n=\bigcup _{n\ge 1}\bigcap _{m\ge n}{A}_m$$

usando la non decrescenza:

$$\bigcap _{m\ge n}{A}_m=A_n$$

quindi:

$$\underset{n}{\mathrm{limsup}}{A}_n=\bigcup _n{A}_n$$

Analogamente per il liminf:

$$\underset{n}{\mathrm{liminf}}{A}_n=\bigcap _{n\ge 1}\bigcup _{m\ge n}{A}_m$$

usando la non descrescenza:

$$\bigcup _{m\ge n}{A}_m=\bigcup _{m\ge 1}{A}_m$$

si ottiene quindi:

$$\underset{n}{\mathrm{limsup}}{A}_n=\bigcup _{n\ge 1}{A}_n=\underset{n}{\mathrm{liminf}}{A}_n$$

quindi il limite esiste. Si ragiona analogamente per sequenze non crescenti. $\square$