Pre misura

Essenzialmente una misura definita su un Semianello. Stranamente richiedo la $\sigma$-additività, con la condizione che l’elemento unione numerabile deve appartenere al semianello, dato che un semianello è solo chiuso per intersezione finita, e quasi chiuso per differenza.

Def §

Una funzione a valori non negativi definita su un semianello ${\mu }_p:\mathcal{A}\to [0,\infty ]$ con le proprietà:

1. ${\mu }_p(\varnothing )=0$
2. $\sigma$-additiva, $A={\bigcup }_{i=1}^{\infty }{A}_i$, $A_i\cap A_j=\varnothing$, $i\ne j$, A, A_i \in \mathcal{A}$ vale:

$${\mu }_p(A)=\sum _{i=1}^{\infty }{\mu }_p(A_i)$$

Abbiamo dovuto richiedere che l’unione numerabile appartenga al semianello!

La misura banale delle box in ${\mathbb{R}}^d$ è una pre misura, dalla quale si arriva con il teorema di estensione di Carateodory alla misura di Lebesgue Costruzione di una misura, metodo Caratheodory.