Riflettore di Householder §

Sia dato un vettore $u\in {\mathbb{C}}^n$. Vogliamo costruire l’applicazione lineare che proietta rispetto al piano ortogonale al vettore direttore $u$.

La matrice di Householder §

La matrice di Householder rispetto al vettore $u$ è

$$U=\mathbb{I}-2\frac{u{u}^H}{\Vert u{\Vert }^2}$$

Proprietà §

Seguono direttamente dalla definizione:

1. E’ involutiva $UU=\mathbb{I}$, ovvero $U^{-1}=U$;
2. E’ Hermitiana;
3. E’ unitaria;
4. Ha determinante $-1$.

Proposizione §

Dati due vettori $x,y\in {\mathbb{C}}^n$ con stessa norma, il riflettore rispetto al vettore $x-y$ ha manda $x$ in $y$: $Ux=y$. Dim conti. $\square$

Posso quindi utilizzare per mandare $x$ in un vettore con tutti zeri tranne la prima componente, che dovrà necesariamente essere $e^{i\theta }\Vert x\Vert$.

Proposizione §

Dato $x=(x_1,x_2,...,x_m{)}^T$ , il riflettore elementare associato al vettore $u=x+\sigma e_1^{(m)}$ dove $\sigma =\Vert x\Vert e^{i\theta }$ con $\theta =\arg x_1$, (dove con $\arg z$, per $z\in \mathbb{C}$, $z\ne 0$ si intende l’angolo tra la direzione positiva dell’asse x e il raggio dall’origine a $z$ nel piano $xy$, quindi $-\pi \le \arg z\le \pi$) fa sì che:

$$Ux=-\sigma e_1$$

Dato un vettore $v$ è possibile trovare un vettore $u$ tale che il riflettore di householder associato azzera tutte le componenti di $v$ tranne una

Dimostrazione Qualche conto. $\square$