Lemma di Gronwall

Sia $ϕ (t)$ una funzione continua tale che:

∣ ϕ (t) ∣ \leq c + L \int_{t_{0}}^{t} ∣ ϕ (s) ∣ d s \forall t \geq t_{0}

con le costanti $c, L \in [0, \infty)$ . Allora vale la stima:

∣ ϕ (t) ∣ \leq c e^{L (t - t_{0})} \forall t \geq t_{0}

Dim

definiamo la funzione integrale:

Φ (t) := \int_{t_{0}}^{t} ∣ ϕ (s) ∣ d s

essendo $ϕ$ continua, $Φ$ è derivabile e per ipotesi la sua derivata è maggiorata da:

Φ^{'} (t) = ∣ ϕ (t) ∣ \leq c + L Φ (t)

moltiplicando per $e^{- L (t - t_{0})}$ :

Φ^{'} (t) e^{- L (t - t_{0})} - L Φ (t) e^{- L (t - t_{0})} \leq c e^{- L (t - t_{0})}

si risconosce a sinistra la derivata del prodotto:

(Φ (t) e^{- L (t - t_{0})})^{'} \leq c e^{- L (t - t_{0})}

Integrando tra $[t_{0}, t]$ si ottiene un upper bound per $Φ (t)$ :

Φ (t) e^{- L (t - t_{0})} \leq \frac{c}{L} (1 - e^{- L (t - t_{0})})

dove abbiamo usato il fatto che $Φ (t_{0}) = 0$ . Dividiamo per il fattore esponenziale ed otteniamo:

Φ (t) \leq \frac{c}{L} (e^{L (t - t_{0}) - 1})

ora usiamo questa stima nella disuguaglianza di ipotesi:

∣ ϕ (t) ∣ \leq c + L Φ (t) \leq c + c (e^{L (t - t_{0})} - 1) = c e^{L (t - t_{0})}

$QE D$

Usi della disuguaglianza

Ad esempio stimare la differenza di due soluzioni di un Problema di Cauchy date due condizioni iniziali, infatti:

∣ u (t) - v (t) ∣ = u_{0} - v_{0} + \int_{t_{0}}^{t} f (s, u) - f (s, v) d s \leq ∣ u_{0} - v_{0} ∣ + \int_{t_{0}}^{t} f (s, u) - f (s, v) d s

sia $L$ la costante di Lipshitz della $f$ :

∣ u (t) - v (t) ∣ \leq ∣ u_{0} - v_{0} ∣ + L \int_{t_{0}}^{t} ∣ u (s) - v (s) ∣ d s

usando il lemma di Gronwall:

∣ u (t) - v (t) ∣ \leq ∣ u_{0} - v_{0} ∣ e^{L (t - t_{0})}

più passa il tempo più la stima sulla differenza aumenta (come ci si aspettava). Dipende linearmente dalla condizione iniziale, esponenzialmente dal tempo e dalla costante di $L$ .

unicità globale delle soluzioni di un problema di Cauchy Teorema di Picard–Lindelöf

Lorenzo Gregoris

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Lemma di Gronwall