Runge-Kutta

Una famiglia di Metodi numerici ad $s$-step.

I metodi espliciti sono esprimibili come:

1. $y_{n+1}=y_n+h{\sum }_i^s{b}_i{k}_i$
2. $k_s=f(t_n+c_{s}h,y_n+h(a_{s1}{k}_1+a_{s2}{k}_2+\cdots +a_{s,s-1}{k}_{s-1}))$

Tutti questi coefficienti $a,b,c$ che definiscono i metodi vengono raccolti in dei tableaux: Si dimostra che il metodo è consistente (Consistenza di un metodo numerico) se e solo se:

$$\sum _i^s{b}_i=1$$

Infatti dalla seconda definizione di consistenza:

$$\underset{h\to 0}{\lim }\Phi (x,y;h)=\sum _i^s{b}_{i}f(x,y)=f(x,y)$$

avendo sfruttato il fatto che per $h\to 0$ tutte le $k_i\to f(x,y)$.

Cosa fanno i metodi Runge-Kutta: sostanzialmente l’incremento numerico è una comabinazione pesata (i pesi sono le $b_i$) della funzione $f$ del problema di Cauchy calcolata in vari punti: le costanti $c_i$ ci dicono in quali punti dell’intervallo della variabile indipendente ($x$ o $t$), le $a_{is}$ in quali punti per la $y$, da notare che è una matrice: dipende anche dallo step corrente $s$, come ha senso che sia: i valori di $y$ vanno calcolati!

Alcuni metodi RK famosi:

• RK4
• Eulero
• RK2 o punto di mezzo