Cauchy product

Analogo della convoluzione per serie (convoluzione discreta).

Def §

Siano ${\sum }^{\infty }{a}_i$ e ${\sum }^{\infty }{b}_i$ , definiamo la serie prodotto di Cauchy:

$$c_k=\sum _{l=0}^k{a}_l{b}_{k-l}$$

Come si rapporta alla due serie di partenza? Teorema di Mertens: Siano le serie entrambe convergenti rispettivamente ad i valori $A$ e $B$, se almeno una è anche assolutamente convergente allora la serie prodotto di Cauchy converge ad $AB$.

Per dimostrarlo si ragiona con le somme parziali, riarrangiamento dei termini, e alla fine si sfrutta la convergenza delle serie e la disuguaglianza triangolare.