Norma dell’energia §

Sia $A\in {\mathbb{C}}^{n\times n}$ una matrice hermitiana defnita positiva. Allora esiste unica la matrice $A^{\frac{1}{2}}$ soluzione del problema $X^2=A$. Una matrice hermitiana defnita positiva induce un prodotto scalere (non degenere), dunque anche una norma:

$$\Vert x{\Vert }_A:=\sqrt{⟨x,x{⟩}_A}=\sqrt{x^{H}Ax}=\Vert A^{\frac{1}{2}}x{\Vert }_2$$

che viene detta norma dell’energia o ($A$-norma), indotta dal $A$-prodotto scalare. Per la norma matriciale indotta dalla norma dell’energia vale il seguente risultato. Proposizione Sia $M\in {\mathbb{C}}^{n\times n}$, si ha

$$\Vert M{\Vert }_A=\Vert A^{\frac{1}{2}}M{A}^{-\frac{1}{2}}{\Vert }_2$$

Dim Per definizione

$$\Vert M{\Vert }_A=\underset{x,\Vert x{\Vert }_A=1}{\max }\Vert Mx{\Vert }_A$$

usando la definizione della norma dell’energia:

$$\underset{\Vert A^{1/2}x{\Vert }_2=1}{\max }\Vert A^{1/2}Mx{\Vert }_2=\underset{\Vert y{\Vert }_2=1}{\max }\Vert A^{1/2}M{A}^{-1/2}y{\Vert }_2=\Vert A^{1/2}M{A}^{-1/2}{\Vert }_2\square$$

Proposizione Da questo fatto segue che se $AM$ è ancora hermitiana, si ha

$$\Vert M{\Vert }_A=\rho (M)$$

inoltre, se $M$ è normale, $\Vert M{\Vert }_A=\Vert M{\Vert }_2$. Dim La cosa da notare è che $A^{1/2}=A^{-1/2}A$, dunque possiamo scrivere:

$$\Vert M{\Vert }_A=\Vert A^{-1/2}AM{A}^{-1/2}{\Vert }_2$$

siccome è $AM$ è hermitiana, tutto lo è, dunque

$$=\rho (A^{-1/2}AM{A}^{1/2})=\rho (A^{1/2}M{A}^{-1/2})=\rho (M)$$

siccome sono simili. Inotre se $M$ è normale, so che $\Vert M{\Vert }_2=\rho (M)$. $\square$

Segue un’interessante disuguaglianza sul numero di condizionamento: Osservazione Sia $AM$ e $A{M}^{-1}$ hermitiane. Allora vale

$${\mathcal{K}}_A(M)\le {\mathcal{K}}_2(M)$$

Dim Dalla proposizione precedente sappiamno che $\Vert M{\Vert }_A=\rho (M)\le \Vert M{\Vert }_2$, stessa cosa per $M^{-1}$. Facendo il prodotto si ottiene la tesi. $\square$