Teorema di Picard–Lindelöf

Utile teorema che mostra esistenza ed unicità della soluzione di un problema di Cauchy, con ipotesi ragionevoli.

Teorema §

Sia dato il problema di Cauchy

$$\{\begin{array}{l}{y}^{\prime }=f(t,y)\\ y(t_0)=y_0\end{array}$$

Se la funzione $f(t,y)$ è continua in $t$ e Lipshitz continua in $y$, allora esiste un insieme $[t_0-a,t_0+a]\times [y_0-b,y_0+b]\subset {\mathbb{R}}^n$ dove la soluzione esiste ed è unica.

Dim §

Idea chiave: costruire una successione che converge alla soluzione. Questa successione è ottenuta tramite l’applicazione ripetuta di un funzionale integrale che è una contrazione nello spazio metrico delle funzioni continue in un certo intorno, per il Teorema di Banach-Caccioppoli converge ed è unica la funzione limite.

Serie di Picard §

Successione di funzioni definita per ricorrenza:

$$\{\begin{array}{l}{y}_0=y(t_0)\\ y_{n+1}={\int }_{t_0}^{t}f(s,y_n)ds+y(t_0)\end{array}$$

Osservazioni §

Posso vedere la definizione come un funzionale integrale $T:y_n\mapsto y_{n+1}$.

il punto fisso di questo funzionale è la soluzione della ODE

Infatti integrando il problema di Cauchy tra $t$ e $t_0$:

$$y(t)-y(t_0)={\int }_{t_0}^{t}f(t,y(y))dt$$

Facciamo vedere che il funzionale $T$ è una contrazione nello spazio metrico delle funzioni continue in un interno del “punto iniziale” $(t_0,y_0)$, sotto opportune ipotesi.

Fissiamo il nostro spazio metrico:

1. scegliamo le funzioni continue da un intorno del tempo iniziale $I_a=[t_0-a,t_0+a]$ e dei valori iniziali $B_b=[y_0-b,y_0+b]$.
2. la metrica indotta dalla norma del sup:

$$||\varphi |{|}_{\infty }=\underset{t\in I}{\sup }|\varphi (t)|$$

Facciamo vedere che il funzionale è ben definito: deve mappare le funzioni continue nella palla di raggio $b$ centrata in $y_0$ in se stesso.

• La continuità è ovvia, essendo un funzionale integrale.
• Lo spazio metrico non è vuoto, infatti $y_0\in B$. Consideriamo una funzione $\varphi \in B_b(y_0)$, applichiamo il funzionale e calcoliamo la distanza con il centro della palla $y_0$:

$$||T(\varphi )-y_0|{|}_{\infty }=\underset{t\in I}{\sup }|{\int }_{t_0}^{t}f(t,\varphi (t))dt|\le \underset{t\in I}{\sup }{\int }_{t_0}^t|f(t,\varphi )dt|\le M|t-t_0|=Ma$$

Abbiamo maggiorato $|f(t,\varphi )$| con $M={\sup }_{(t,\varphi )\in I\times B}|f(t,\varphi )|$ con il sup. _Abbiamo richiesto che $f(t,\varphi )$ sia limitata nel rettangolo $I_a\times B_b$ _.

Quindi $T$ è una contrazione se $Ma\le b$ ovvero:

$$a\le \frac{b}{M}$$

Dimostriamo che è una contrazione, ovvero $\forall {\varphi }_1,{\varphi }_2\in B$:

$$||T{\varphi }_1-T{\varphi }_2||\le k||{\varphi }_1-{\varphi }_2||$$

con $k\in [0,1)$.

$$||{\int }_{t_0}^{t}f(s,{\varphi }_1)-f(s,{\varphi }_2)ds||\le {\int }_{t_0}^{t^{\prime }}|f(s,{\varphi }_1)-f(s,{\varphi }_2)|ds\le L{\int }_{t_0}^{t^{\prime }}||{\varphi }_1-{\varphi }_2||ds\le La||{\varphi }_1-{\varphi }_2||$$

$t^{\prime }$ è il tempo che massimizza il primo membro. Abbiamo assunto che esista la maggiorazione:

$$\underset{t\in I}{\sup }|f(t,{\varphi }_1(t))-f(t,{\varphi }_2(t))|\le L||{\varphi }_1-{\varphi }_2||$$

ovvero che f sia Lipschitz rispetto alla $\varphi$ con costante $L$ con la norma del sup (è praticamente un upper bound uniforme per ogni tempo!).

Affinché sia una contrazione $La\in [0,1)$ quindi:

$$a<\frac{1}{L}$$

Recap §

Abbiamo visto che il funzionale $T$ è ben definito se $a\le \frac{b}{M}$, dove $b$ è il raggio della palla nel dominio delle soluzioni, centrato nel valore iniziale, ed $M$ il sup della funzione $f$.

Inoltre, affinché $T$ sia una contrazione $a<\frac{1}{L}$ dove $L$ è la costante di $Lipshitz$ della $f$ rispetto alla $y$.

Quindi scegliendo $a=\min \{\frac{b}{M},\frac{1}{L}\}$ possiamo applicare il teorema delle contrazioni, e avere:

• esistenza
• unicità della soluzione/punto fisso! $QED$.

Unicità globale §

Il teorema ci assicura che finchè siamo nel rettanglo $I_a\times B_b$ con $a$ scelto di consguenza, la solzione è esiste ed è unica. Fuori che succede? Se continua ad esistere è possibile perdere l’unicità? E’ possibile che la soluzione nel rettangolo si divida in più soluzioni fuori?

Supponiamo di avere due funzioni soluzioni $\varphi$ e ${\varphi }^{\prime }$, siccome risolvono lo stesso problema di Cauchy, entrambe sono punti fissi del funzionale integrale. Calcoliamo il modulo della loro differenza:

$$|\varphi (t)-{\varphi }^{\prime }(t)|=|{\int }_{t_0}^{t}f(s,\varphi )-f(s,{\varphi }^{\prime })ds|\le {\int }_{t_0}^t|f(s,\varphi )-f(s,{\varphi }^{\prime })|ds\le L{\int }_{t_0}^t|\varphi (s)-{\varphi }^{\prime }(s)|ds$$

dove abbiamo usato la Lipshitzianità di $f$ rispetto alla seconda variabile. Possiamo applicare il Lemma di Gronwall, con la costante $c=0$. Ma questo implica:

$$|\varphi (t)-{\varphi }^{\prime }(t)|\le 0\forall t\le t_0$$

quindi anche per $t>a$ all’esterno dell’intervallo $I_a$.