Indipendence

Indipendenza di sigma algebre §

Sotto $\sigma$-algebre ${\mathcal{G}}_1,{\mathcal{G}}_2,\dots$ di $\mathcal{F}$ vengono dette indipendenti se, quando $G_i\in {\mathcal{G}}_i$ ($i\in \mathbb{N}$), con indici $i_1,\dots ,i_n$ distinti, allora vale:

$$\mathbb{P}(G_{i_1}\cap G_{i_2}\cap \cdots \cap G_{i_n})=\prod _{k=1}^n\mathbb{P}(G_{i_k})$$

Osservazione Gli indici distinti sono fondamentali, altrimenti ottengo $\mathbb{P}(\mathbb{G})=\mathbb{P}(\mathbb{G}{)}^2$ che è vero solo per eventi $0,1$.

Da questa seguono le altre defininizioni d’indipendenza:

Indipendenza di variabili aleatorie §

Le v.a. $X_1,X_2,\dots$ sono indipendenti se le loro $\sigma$-algebre generate sono indipendenti.

Indipendenza di eventi §

Stessa cosa ma per le sigma algebre generate dai singoli eventi, ovvero:

$$\sigma (E)=\{\varnothing ,\Omega ,E,E^c\}$$

Osservazione E’ equivalente a dire che la funzione caratteristica di $E$ sia indipendente (genera la stessa $\sigma$-algebra).

Indipendenza di sigma algebre tramite pi sistemi §

Vale il seguente lemma, siano $\mathcal{I},\mathcal{J}$ due Pi-system che generano due sotto $\sigma$-algebre di $\mathcal{G},\mathcal{H}$ di $\mathcal{F}$. (Quindi devono contenere $\Omega$). Allora $\mathcal{G}$ e $\mathcal{H}$ sono indipendenti se e solo se $\mathcal{I}$ e $\mathcal{J}$ lo sono.

Dim Supponiamo che $\mathcal{I}$ e $\mathcal{J}$ siano indipendenti, allora fissando $I\in \mathcal{I}$ ottengo due misure su $\mathcal{H}$:

$$H\mapsto \mathbb{P}(H\cap I)H\mapsto \mathbb{P}(H)\mathbb{P}(I)$$

danno la stessa massa ad $\Omega$, ed ovviamente sono in accord sul $\pi$ sistema $\mathcal{J}$, quindi per il Lemma di Dynkin, sono in accordo su tutta la sigma algebra $\mathcal{H}$.

Faccio lo stesso fissando $H\in \mathcal{H}$, concludo. $\square$

Remark Posso estenderlo ad ogni insieme finito di sotto sigma algebre, ripeto $n$ volte il ragionamento.