Lemmi Borel-Cantelli

Danno informazioni sul Liminf limsup di insiemi misurabili.

Lemma di Borel-Cantelli I §

Sia $(A_n{)}_{n\ge 1}$ una successione di insiemi misurabili di uno spazio di misura $(\Omega ,\mathcal{F},\mu )$. Se la serie ${\sum }_n\mu (A_n)<\infty$ è sommabile Allora

$$\mu (\underset{n}{\mathrm{limsup}}{A}_n)=0$$

Proof It follows from the definition of $\mathrm{limsup}$ of sets;

$$\mu \left(\bigcap _{n\ge 1}\bigcup _{m\ge n}{A}_m\right)$$

la successione $B_n:={\cup }_{m\ge n}{A}_m$ è non crecente in $n$, quindi per il teorema Continuity of mesure:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\mu \left(\bigcup _{m\ge n}{A}_m\right)\le \underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{m=n}^{\infty }\mu (A_m)=0$$

per subadditività. Siccome è il resto di una serie convergente ottengo la tesi. $\square$

Lemma di Borel-Cantelli II §

Sia $(A_n{)}_{n\ge 1}$ una successione di eventi indipendenti di uno spazio di probabilità $(\Omega ,\mathcal{F},\mathbb{P})$. Se la serie ${\sum }_n\mathbb{P}(A_n)=\infty$ diverge allora:

$$\mathbb{P}(\underset{n}{\mathrm{limsup}}{A}_n)=1$$

è l’opposto del primo lemma, ma serve la condizione in più dell’indipendenza!

Proof Dimostro che l’evento complementare ha probabilità $0$ (anche gli eventi $A_n^C$ sono indipendenti e misurabili):

$$\mathbb{P}{\left(\bigcap _{n\ge 1}\bigcup _{m\ge n}{A}_m\right)}^C=\mathbb{P}\left(\bigcup _{n\ge 1}(\bigcup _{m\ge n}{A}_m{)}^C\right)=\mathbb{P}\left(\bigcup _{n\ge 1}\bigcap _{m\ge n}{A}_m^C\right)=\underset{n\to \infty }{\lim }\mathbb{P}(\bigcap _{m\ge n}{A}_m^C)$$

per monotonia della successione non crecente in $n$. Usando ancora una volta la monotonia e poi l’indipendenza:

$$\mathbb{P}\left(\underset{N\to \infty }{\lim }\bigcap _{m=n}^N{A}_m^C\right)=\underset{N\to \infty }{\lim }\prod _{m=n}^N\mathbb{P}(A_m^C)$$

siccome la successione è non crescente, lo scambio è lecito per Conseguenze. Usando la disuguaglianza $1-x\le e^{-x}$ per $x\ge 0$:

$$\underset{N\to \infty }{\lim }\prod _{m=n}^N\left(1-\mathbb{P}(A_m)\right)\le \underset{N\to \infty }{\lim }{e}^{-{\sum }_m^N\mathbb{P}(A_m)}=0$$

per la non sommabilità. $\square$