Filtrazione naturale di un processo stocastico

Filtrazione §

Una filtrazione di uno spazio di probabilità $(\Omega ,\mathcal{F},\mathbb{P})$ è una famiglia di sigma algebre totalmente ordinate per inclusione, indicizzate con un insieme di indici totalmente ordinato $I$.

$$\mathbb{F}:=({\mathcal{F}}_i{)}_{i\in I}{\mathcal{F}}_i\subseteq {\mathcal{F}}_{j}i\le j$$

Filtrazione naturale di un processo stocastico §

Sia $(\Omega ,\mathcal{A},\mathbb{P})$ una spazio di probabilità, ed $(I,\le )$ un insieme di indici totalmente ordinato; sia $(S,\Sigma )$ uno spazio misurabile, sia $X:I\times \Omega \mapsto S$. La filtrazione naturale ${\mathcal{F}}_i^X$ del processo stocastico $X$ al tempo $i$:

$${\mathcal{F}}_i^X:=\sigma \{X_j^{-1}(A)|j\le i,A\in \Sigma \}$$

è la più piccola sigma algebra che contiene tutte le preimmagini dei misurabili per tempi $j$ “fino” ad $i$.

Processo stocastico prevedibile §

Un processo stocastico si dice prevedibile se $X_i\in {\mathcal{F}}_i$ $\forall i\in I$.

Proposizione §

$$X_i\in {\mathcal{F}}_{i-1}⟺X_i=f(X_1,\dots ,X_{i-1})$$

ovvero se è una funzione (deterministica) misurabile delle precedenti

1. VEDI https://math.stackexchange.com/questions/3131221/what-is-meant-by-a-filtration-contains-the-information-until-time-t